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tangenti in P e P -+- dP dopo la coincidenza ; talché, per le cose dette di sopra, 

 subito si deduce 



1 . 1 ■ 



(XI — — IH k. 



Pr Pg 



In modo analogo si ottiene 



1 1 . 



aj = i k. 



Pr< Pg 



Le formule precedenti, con queste espressioni di a\ e g], sono le formule fonda- 

 mentali, corrispondenti a quelle di Frenet, della teoria delle superfìcie (*). 



4. Condizione a cai deve soddisfare una omografia g(P) 

 affinchè sia V omografia delle rotazioni d' una terna fonda- 

 mentale (i, j, k) variabile coti P. 



Ora si presenta la questione : data un' omografìa a funzione di P, esiste per ogni 

 punto P una terna fondamentale (i j k) soddisfacente alle (2) ? Si dimostra che tale terna 

 esisterà tutte le volte che sia soddisfatta la condizione 



(4) Rot Kg — lì Kg == 0. 



Infatti, 1' esistenza delle (2) porta per conseguenza 



Rot (K& • i /\ ) == Rot {Kg ■ j A ) = ° Rot (Zcr • k A ) = ° ; 



du 

 giacche e sempre RotiT— = 0. 



Si deduce, per a qualunque e costante, 



rot Ka (i A a) = rot Ka (j f\ a) = rot Kg (k A a) = 0. 

 Consideriamo la prima. Sviluppando risulta 



(o) (Rot Kg) (i A a) — 2 V (Kg ( ' ^ *' ) — 0. 



dP 



Ma 



d(\ A a) (lì 



! = -aA^ = a A'A^; 



dP ' N dP 



e poiché in generale 



a A (i A ab) = — (i A °"b) A a = — (i X a) crb ■+- (ab X a) i 



risulta 



d(\ A a) 



dP 



= — a X i — H(a,i) )g 



(*) Espresse mediante i coefficienti delle forme fondamentali, sono le formule indicate a pag. 94 

 della Geometria differenziale del Bianchi (l a Ediz.). 



