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Ne consegue 



(e) Ka d{i ^\ a) ="— (aXi)A'(T-(T + H (Kaa, Ka'ì) ; 



perchè 



Ka H O; i) ab = (a X o-b)A(ri = (Aaa X b) Aìri = H (Kaa, Ka\) b. 



Allora due volte il vettore dell' omografia (e) è K&SL /\ Ka'ì, ossia RKa (ì /\ a). 

 Dopo ciò la (o) diventa 



(Rot à'<7 — ti Ka) (i A a) = o ; 



valida scambiando i con j e con k e per a qualunque. Ne risulta dunque la (4), con- 

 formemente all' asserto. 



5. Terne appartenenti a un sistema triplo ortogonale — Se 



le superfìcie (fi = u , ij.' = w g , % = u v ove u u % u sono parametri variabili, costi- 

 tuiscono un sistema triplo ortogonale, le tangenti in P alle linee intersezioni di quelle 

 superfìcie formano una terna ortogonale. Le direzioni positive delle tangenti saranno 

 prese nel senso delle ìi crescenti, e saranno indicati con i j k rispettivamente i vettori 

 unitari che le definiscono. 



Poiché tali tangenti devono coincidere con le normali alle superficie, si avrà 



i k 



(5) grad u. — — grad u a = — grad u = — -, 



1 H l H 2 H % 



essendo H x H s H^ funzioni di P. 

 Ne consegue 



dP Xi^^f, grad w X dP = H x du ì ecc. 

 e quindi 



dP 2 = {dP X i) 2 -4- {dP X j) 2 -+■ {dP X k) 2 = H;du; -+- H*du\ 2 -+- H;du 



*du*, 



che è T espressione dell' elemento lineare. 



Poiché H x du ,, H</ln 2 , H^du 3 sono le proiezioni di dP sopra i, j, k, si deduce, per una 



funzione qualunque (fi di P, 



grad $ X I = ^ £ grad $ X j = ^ g* «rad X k = - - ; 



e quindi, in generale 



1 ÌHÒ. 1 ì>(fi . 1 ^, 



che è V espressione di grad (^ in coordinate curvilinee ortogonali. 

 Dalle (5) risulta 



rot i = rot (H l grad u) = grad H x /\ grad Wj= — grad .#, /\ i 

 (6) ] l • V 



ro( ' J = ir s rad #» X J rot k = 7T § Tad ^3 A k 



