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 e quindi per la (3') I^a =■ 0. Da questa e dalle (3) si ricava 



(7) al = — grad flj /\ i, oj = — grad H 2 /\ j, ak = — grad # 3 A k 



1 2 . . . ^3 



cAe definisce V omografia delle rotazioni per le terne principali d' un sistema triplo 

 ortogonale . 



Da queste e dalle (3) si deduce 



divi = k X 7T grad# 2 /\j— j X 7Tgradff 3 Ak=— grad# 8 XÌ-HTrgrad# 3 XÌ 



ossia 



div i = v 2 3 , div 1 = v ' 3 ' div k — v 2 i; . 



Talché, per un vettore qualunque 



V = tjji -+- ?y -+- » 3 k 



funzione di P, si ha 



div v = 



1 p( g » g 8 p i) *&***&) W&vJ 



12 3 L 1 2 3 



che è V espressione della divergenza in coordinate curvilinee ortogonali. 



Combinandola con 1' espressione di grad (p ; ossia, ponendo v = grad (p, si ha 

 l' espresssione del A(p in coordinate curvilinee ortogonali : 



div grad f =*# = -i- f » (*& W __ A/M, W __ ì/55 ^\1 



Ognuno vede quanto sia semplice ed elegante la deduzione di queste importanti for- 

 mule, le quali si sogliono ottenere o direttamente mediante calcoli assai laboriosi, o 

 indirettamente con artifizi estranei alla questione stessa. 



Tralascio 1' espressioni di rot v e di — , che pure si deducono immediatamente. 



dP 



Ci occorre enunciare esplicitamente il noto teorema : le condizioni necessarie e 

 sufficienti affinchè le terne (i j k) sieno le terne principali d' un sistema triplo orto- 

 gonale sono : 

 (8) rot i X ì = rot j X j = rot k X k = 0. 



Che sieno necessarie risulta manifestamente dalle (6). Per dimostrare la sufficienza, 

 basta porre 



rot i = grad l f\ grad m ; 



il che si può sempre fare, come è noto. Allora, essendo per ipotesi rot i X i = 0, sarà 

 j = li grad l -+- k grad m, e quindi 



rot i = grad l /\ grad m = grad h /\ grad l -f- grad k f\ grad m. 



