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 Ne consegue 



grati h X g'"ad l f\ grad m = grad k X grad ? /\ grad m = 0, 



le quali esprimono essere h e k funzioni. di l e m. E allora, potendosi sempre deter- 

 minare una funzione H di l e m tale che sia 



h _àip k "òtp 



~H ~ W ~H ~hn' 



ne risulterà 



H — *- grad Z n - grad m = i7 grad n/. 



\ DZ " Dot / T 



Cosf si vede che i j k dovranno avere la forma (5), che caratterizza appunto le 

 terne principali appartenenti a un sistema triplo ortogonale. 



Il lettore vedrà che il teorema di Dupin si deduce subito; ma su ciò non vo- 

 gliamo insistere. 



6. Condizioni affinchè le direzioni unite ffl una dilatazione 

 propria y (P) formino in ogni punto la terna principale d' un 

 sistema triplo ortogonale. 



Considerando le direzioni unite, supposte sempre distinte e non nulle, d' una dila- 

 tazione y (P), si viene a collegare ad ogni punto una terna fondamentale (i, j, k). Può 

 accadere che queste terne appartengano a un sistema triplo ortogonale ? E quando 

 ciò ? Se i, j, k sono le direzioni unite di y, sarà 



y\ = l\ yj = mj y\ = m\, 



l. m, n essendo funzioni di P non nulle. Si ricava per note formule 



rot y\ = (Rot y\ i -+- 2V \7jt) = * rot i h- grad l /\ i 



ed analoghe; per conseguenza le (8), esprimenti le condizioni affinchè le (i, j, k) sieno 

 le terne principali d' un sistema triplo ortogonale, diventano 



(9) 



(Rot r ) i x i -+- 2 v(r^) xì = o 



con le analoghe, cambiando i in j e k. 

 Ora, per le (2), 



7j- p = — y -\/\(J = — i x y -\/\o -±-y\/\v = {m ■+- ») — -*- i A 7 <* (*) 



(*) Qui usiamo la formula 



Y . u A e = /i y • u A ° — " A y° ~- r u A a (r = dil ) 



che si deduce facilmente dalla formula [1] di pag. 36 dell' A: V. G, T. L, di Burali-Forti e Marcolonj 



