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malmente al raggio vettore che lo congiunge a un punto fìsso {polo della 

 pedale). Si cerchi pertanto la pedale negativa della linea rappresentata 

 dall'equazione (1). 



Se si indicano con a e /? le coordinate generali della retta che in qual- 

 sivoglia punto (x, y) della linea (1) riesce normale al raggio vettore con- 

 giungente quel punto coli' origine delle coordinate, l'equazione della retta 

 sarà 



2) ax -+- $y = x 2 -+- tf , 



e l'inviluppo delle rette rappresentate da quest'ultima equazione e corri- 

 spondenti a ciascun punto della linea (1) sarà una curva che avrà per 

 pedale la stessa linea (1). 



Mediante una nuova variabile z si renda omogenea l'equazione (1) in 

 rispetto alle variabili x, y, z e si faccia altrettanto per l'equazione (2) 

 scrivendo a luogo di esse le seguenti 



1') (a3 g H-# 8 )*H-2a JP s 2 * _ * = 0, s = 2k — 1, 2k — 2, ... ,2, 1,0, 



2') (ax-¥- ^y)z = x s -^-y 2 , 



e sia inteso che l'equazione z — rappresenta la retta all'infinito. 



Una linea rappresentata dall'equazione (1) ha i suoi 2k punti all'infi- 

 nito tutti immaginarii, in direzione dei due punti cielici, e perciò la pe- 

 dale negativa di essa non può essere tangente la retta all'infinito del 

 piano; si deve pertanto escludere il caso che nell'equazione (2') sia z=0, 

 e si può mediante questa stessa equazione eliminare la variabile z dalla 

 (1): ne risulta un'equazione che liberata dal fattore {af-ì-if) comune a 

 tutti i suoi termini e dai denominatori diventa 



3) (x*-i-y 2 ) k -\ax+(]y) 2k -h2(x 1! +(fY k - s -\ax-^Pyyu s =Q, s=2k—l ,...2,1,0: 



equazione omogenea del grado Ak — 2 in rispetto alle variabili x e y e 

 del grado 2k in rispetto alle a e /?. Si consideri in questa equazione il 

 rapporto (x:y) come un parametro arbitrario, e il discriminante del primo 

 membro dell'equazione posto eguale allo zero rappresenterà l'inviluppo 

 cercato, cioè la curva che ha per sua pedale la linea (1). Tale inviluppo 

 sarà della classe 2k e dell'ordine 2k(2k — 1) al più, onde in generale : fra 

 le curve della elasse 2k c'è una o più famiglie di curve che, almeno in ri- 

 spetto a un dato polo, hanno per pedale ciascuna una linea dell' ordine 2k 

 la quale ha potenza in ogni punto del suo piano. 



