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Se fosse e 2 — a 2 — b 2 =0 la conica (5) sarebbe una parabola e il cir- 

 colo (4) si trasformerebbe nelle due rette 



(x -h a) 2 -+- (y -+- bf = . '*> 



Il modo sopra indicato per trovare la pedale negativa della linea (1) 

 richiede che si formi il discriminante di una forma binaria che é in ge- 

 nerale del grado 2(2k — 1) e ciò, anche se k non é molto grande, non si 

 ottiene facilmente atteso la lunghezza del calcolo. Però in casi particolari 

 il calcolo può riuscire assai meno laborioso. 



Se ad esempio tanto il polo come i due punti ciclici sieno punti k ni 

 della pedale e l'equazione (1), nella quale mancheranno manifestamente 

 gli ultimi k termini, resa omogenea, sia della forma 



6) (x 2 -+- y 2 f -+- I(x 2 ^- iff- r u r z r = , r = 1 , 2 , . . . . , k ; 



allora eliminando da questa la ^ mediante la (2 r ) si ottiene un' equazione 

 i termini della quale hanno il fattore comune (x 2 -\-tf) h e che liberata da 

 questo fattore e dai denominatori diventa 



7) (ax -+- Py) h H- 2(ax -t- $yf~ r u r = , r = 1 , 2 , . . . , k , 



del grado k in rispetto alle variabili a e $ : la pedale sarà dunque una 

 curva della classe k, onde : fra le curve della classe k ma c'è una o più fa- 

 miglie di curve che, almeno in rispetto a un dato polo, hanno per pedale 

 una curva dell' ordine 2k che ha potenza in rispetto ad ogni punto del suo 

 piano, e della quale il polo e i due punti ciclici sono punti k mi . 



Il discriminante della forma binaria che forma il primo membro della 

 equazione (7) é una funzione omogenea dell'ordine 2(k — 1) dei suoi coef- 

 ficienti, alcuni dei quali sono del grado k in rispetto alle a e /?, ond' é 

 che esso potrà apparire del grado 2k(k — 1) ; però quando sia posto 

 eguale allo zero e sieno fatte tutte le riduzioni, l'equazione non conterrà 

 termini di grado superiore al grado k(k — 1), dovendo essa rappresentare 

 una curva della classe k e perciò dell'ordine A'(A' — 1) al più. 



Cerchisi per esempio la curva che ha per pedale la linea rappresen- 

 tata dall'equazione 



8) (x 2 -+- y 2 ) 2 -+- 2(x 2 -+- y'Xc^x -+- b^j) -+- a 2 x 2 -+■ 2f 2 xy ■+- b 2 y 2 = . 

 Rendasi da prima l'equazione omogenea per mezzo della variabile * 



l") Cfr. Pedali delle coniche, 1. e. pag. 132. 



