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piccolo ad arbitrio, esiste corrispondentemente un numero positivo d o d(e) 

 tale che sia 



\f(a) —/(«')!<£ 

 ogni qualvolta è, per due punti qualsivogliano dell'insieme a ed a' 



\a — a'\<Ò. 



4. Sia A' l'insieme derivato di A, a un punto di A'. Si potrà allora 

 assegnare in A una successione 



\1 ) Ct^ , C£g , . . . . Ct n , . . . . 



avente per limite a. Essendo f{x) una funzione finita e continua dei punti 

 di A, la successione 



(2) f(a 1 ),f(a i ),...f(a„),... 



ammetterà un limite, poiché, preso e piccolo a piacere, esiste un d tale 

 che per \a„ — a„ +r |<^ sia 



I /(««)— f(a n +r)\<e 



e, la successione (1) ammettendo un limite, esiste per ogni d un a„ tale 

 che tutti i successivi diano \a n - — a n _^ r \<d. 



Ciò posto, si indichi con /? il limite della successione (2); un tal nu- 

 mero viene ad essere definito per ogni punto a di A'. Inoltre esso é de- 

 finito in modo unico : se infatti si considera una seconda successione 



(1 ) «,, a 2 , ...«„, ... 



avente lo stesso limite a, vi sarà, per d comunque piccolo, un indice n 

 tale che da esso in avanti sia 



| ci n — a„ | < d , onde \f(a n ) —f(a H ) | < e , 



e quindi le successioni f(a n ) ed f{a n ) tendono allo stesso limite. 



5. Si viene in tale guisa a definire una funzione ad un valore dei 

 punti di A', poiché ad ogni punto a di A' corrisponde un numero <3 ed 

 uno solo. Ma se un punto di A' è anche punto di A, cioè se a = a, sarà 



