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manifestamente $ = b =/(a). Perciò estendendo il significato del simbolo 

 f{ac) ai punti dell' insieme A', sarà naturale di rappresentare con f(oc) la 

 funzione dei punti dell'insieme A -+- A' che per oo — a assume il valore b 

 e per x = a il valore /?. 



6. La funzione cosi estesa é finita e continua. 



1.° Essa è finita, ed il limite superiore dei moduli )/?| è quello stesso 

 Af dei moduli | b |. Infatti, si può trovare nella successione (1) un indice n 

 tale che per ogni r sia, essendo e piccolo a piacere 



|/Kh_,-)— f(a)\<e, onde |/(<x)|< | /(«„+,) |h- e; 



ne risulta che |/(«)| non può superare M. 



2." Essa è continua. A dimostrare ciò conviene provare che essendo 

 a ed a' punti dell'insieme A-\-A', e preso £ piccolo a piacere, si può tro- 

 vare un numero positivo d' tale che per |a — a'|<5' sia |/(a)— y^a')|<£- 



Se a ed a' sono punti di A, ciò risulta dalla ipotesi. 



Se a é un punto di A ed a' un punto di A', dico che per 



|a-a'|<^(|), sarà |/(a)-/(a')| 



<e. 



Infatti sia (1) una successione di punti di A avente per limite a' : presi in 

 essa due punti a n , a„_^ r tali che sia 



|a'-««|<^(0, |a'-a„+,|<^(|), 



verrà 



| ««— a n + r 1 < d(^\ , onde \f{a„)— /(«„+,)! < | , 



e quindi anche |/(«„) — /(a')|<ò- Ma essendo 



|a-a'|<^(|), k-.*.|<|»©. 



verr;i 



| a -a n |<^|), onde |/(a)-/(a„)|<| , 

 da cui infine |/(a) — /(a')|<£. 



