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Se infine a ed a' sono punti di A', dico che per |a — & '\ < ^'J^(j) ® 

 certamente |/(a) — /(a')|<£- Infatti si prenda un punto a di A tale che 

 sia |a' — a | < jd(j) < 9^(7) : sar & P er quanto si è ora dimostrato 



|/(a') — /(«)|<p- Si ha allora che é |a — a \ < ^o^(j)^ quindi anche 



|/(a) —f(a) |< | . Onde si conclude | /(a) —/(a') |< £ . 



È d'altronde manifesto che non può esistere un'altra funzione conti- 

 nua dei punti di A-^-A' che coincidendo colla proposta pei punti di A, 

 ne differisca pei punti di A'. Talché si ha il 



Teorema. Dato un insieme A ed una funzione finita e continua dei 

 punti di esso insieme, esiste una funzione finita e continua dei punti dello 

 insieme A-f-A', ed una sola, che coincide colla proposta nei punti di A. 



7. È chiaro che non vi ha luogo a proseguire nella estensione della 

 f(x) agli insiemi derivati successivi di A poiché, come é noto, A -t- A' è y 

 secondo la terminologia di Cantor, un insieme chiuso, cioè contiene 

 tutti i suoi derivati { * } . 



8. A questo punto si presentano le due seguenti domande: 

 1.° Supposto V insieme A numerabile 



A = (a t , a 2 , a 3 , ... a„, ...), 



sì può costruire, mediante i valori dati b„, una espressione aritmetica che 

 rappresenti la funzione f(x) estesa ai punti dell' insieme A -+- A' ? 



2° Sotto quali condizioni esiste una funzione analitica regolare nei 

 punti di A, e che coincide con f(x) nei punti di A -+- A' f 



9. La prima domanda presenta un interesse speciale nel caso in cui 

 l' insieme A, pure essendo numerabile, è condensato in tutto un continuo 

 (area o linea del piano x) cioè è tale che in ogni porzione dell'area od 

 in ogni arco della linea, per quanto piccoli, cade qualche punto dell' in- 

 sieme. Limitandoci al caso che A sia tutto condensato lungo una porzione 

 di lunghezza limitata di una linea analitica, questo caso si può ricondurre, 

 mediante un cambiamento di variabile, a quello in cui 1' insieme A è 

 condensato in tutto un segmento finito dell' asse reale compreso fra estremi 

 arbitrari, p. es. — ti e ti. L'insieme A', coincidente con A-\-A', com- 

 prende ora tutti i punti del segmento — n.-.n. Inoltre, se b n = c n -ì-id ny 



(*) Non è forse fuor di luogo il far notare che il Jordan chiama perfetto quell'insieme che 

 contiene il suo derivato (Cours d' Analyse, 2 cm ° édit., T. I, pag. 19, 1892) cioè l'insieme chiuso 

 secondo Cantor, mentre per il Cantor 1' insieme perfetto è quello identico al suo derivato. 



