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basta limitarsi alla considerazione delle funzioni <?„ o d„ dei punti a. a . 

 In tale guisa, la prima domanda viene ricondotta alla seguente: 



E dato un insieme A numerabile di punti reali & n , tutti differenti fra 

 loro, tutti compresi fra — ti e re e condensati in tutto V intervallo — n . . .n ; 

 è data una funzione reale, finita e continua f(a„) = b„ dei punti di A. 

 L' estensione di questa funzione ai punti dell' insieme A -t- A' ( § 5 ) ci dà 

 una funzione reale, ad un valore, finita e continua f(x) della variabile 

 reale x, definita per tutti i valori di x compresi fra — re e ti. Si chiede 

 se è possibile di costruire, mediante i valori dati b n , una espressione a- 

 ritmetica che, in tutto V intervallo fra — ti e ti, rappresenti la funzione f(x). 



10. A tale domanda é facile di rispondere affermativamente mediante 

 l'applicazione dello sviluppo di Fourier. Noi sappiamo infatti che per 

 la J\x), continua e finita fra — ti e n, vale, in classi estesissime di casi, 

 ed in tutto l' intervallo — re . . . ti , P espressione 



1 



(1) f(x) = Wt -4- 2 (h v cos vx -+- A' v sen vx) 



C v =l 



dove 



= —ff(t) cos vt dt , k v = -jf{t) sen vt dt . 



La questione é dunque ridotta ad esprimere i coefficienti h, t e h\ me- 

 diante i valori dati b n , o, più generalmente, l'integrale definito di una 

 funzione (p(t) continua della variabile reale t data fra — ti e ti , 



J(p{t)dt 



per mezzo dei valori che assume <p(t) nei punti dell'insieme A. 



Premettiamo, a tale scopo, una conveniente numerazione, sempre pos- 

 bile, dei punti di A. Dividiamo l'intervallo — ti... ti in due parti eguali, 

 e prendiamo un punto di A nell'intervallo fra — ti e o, un altro nell'in- 

 tervallo fra o e ti, indicando questi punti con a hl , a ]2 . Dividiamo poi gli 

 intervalli — ti ... o e o ... ti in due parti uguali e prendiamo in ciascuno 

 degl'intervalli cosi formati un punto di A, escludendo a M ed a 12 : siano i 

 punti a 2l , a 22 , a 23 , a 2i . Seguitiamo cosi indefinitamente, dividendo in due 

 parti uguali ognuno degli intervalli precedentemente ottenuti e prendendo 

 in ciascuno dei nuovi intervalli che si vengono a formare un punto di A, 



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