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assume rispettivamente i valori 6 1? b 2 , ••• b,„. Detta F(x) questa funzione, la 

 formola 



m — 1 



(6') F(x) = ZC„p n (x) 



n = 



è nota sotto il nome di formola d'interpolazione di Newton o di Gauss, 

 ed é facile trasformarla in quella di Lagrange. Infatti la (6 f ) si scrive 

 sviluppando le C, 



jrr„\ — hU , & — a i , Qb — «i)(a? — « g ) , _: (a?— ct^x—a^-jx— a, »^)! , 

 , ix — a. (x — a.)(x — a„) (x—a.)(x — a 9 ) — (x — a m _ l )) 



, (a?— «jXag— a 8 ) — (a? — «m— 



ed applicando alle singole parentesi la formola (4), si ottiene con facile 

 riduzione: 



F , v \\ (a? — «jXa? — a s ) — (x — «„_QO — «».+.i) — (a?-- a m ) 



~*^_ \a n — a^{a n —a^ — (a n — a„_0(«»— ««+0— (a n — a m ) ' 



che é la classica formola d'interpolazione di Lagrange. 



III. 



14. Veniamo ora ad occuparci della seconda questione posta al § 7, 

 che riguarda la possibilità dell'esistenza di una funzione analitica che nei 

 punti a n dell'insieme numerabile A assuma i valori b n ; stante la compli- 

 cazione di tale questione, la limiteremo allo studio della serie (6), cercando 

 i casi in cui -questa serie è atta a rappresentare una funzione analitica 

 regolare in un campo racchiudente l'insieme A. Tale studio ha già formato 

 oggetto di parecchi lavori di cui gioverà qui ricordare i principali; avver- 

 tiamo però che essi contengono tutti una restrizione essenziale, in quanto 

 che si limitano quasi esclusivamente al caso che l' insieme A abbia un 

 unico punto limite. 



15. Il primo fra questi lavori è, in ordine di data, una Memoria del 



