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 Froebenius w in cui l'autore, partendo dalla formola (3) e supponendo 



lima„ = , p n (x) = (x — a x ){x — a 2 ) • ••(x — a n ) , 



n = 00 



cerca le condizioni di convergenza delle serie della forma 



(6) 2c„p n (x) . 



Egli pone una nuova limitazione, supponendo che la serie 2a n sia asso- 

 lutamente convergente e trova che le serie 



2c n p n (x) , 1>c n x n 



convergono nello stesso cerchio : inoltre che neh' interno del cerchio di 

 convergenza la serie (6) converge in ugual grado e rappresenta quindi 

 una funzione analitica. Di più, sostituendo la espressione (3) che estesa 

 all'infinito dà una serie convergente per |#|>|a?| nella nota formola di 

 Cauchy, l'autore trova che ogni funzione analitica regolare entro un 

 cerchio di centro o é sviluppabile in serie della forma (6); ma non in un 

 sol modo: egli avverte infatti che si possono formare infiniti sviluppi (6) 

 i quali sono identicamente nulli entro il loro cerchio di convergenza. Il 

 Frcebenius non collega questo studio della convergenza della serie (6) 

 — limitatamente al caso di 2|a M | convergente — al problema dell'inter- 

 polazione. Questo collegamento, il quale richiede che si esprimino i coef- 

 ficienti c„ in funzione dei valori b n della funzione nei punti a n mediante la 

 formola (5) o, in altri termini, che le c n siano quelle espressioni razionali 

 delle a„, b„ dette funzioni interpolati '**', si trova fatto invece in un breve 

 ma pregevole lavoro del Peano <***'. In questo, premessa (pag. 4) l'espres- 

 sione delle funzioni interpolari in forma di integrali definiti estesi ad un 

 contorno chiuso, viene stabilito (pag. 9) che ogni funzione analitica rego- 

 lare nell'intorno di a, essendo 



a = lim a n , 



n =zco 



ammette uno sviluppo della forma (6) i cui coefficienti sono le funzioni 



1*1 Ueber die Entwickelung analytischer Funetionen in Reihen a. s. w. Journal fur die reine 

 und angewandte Mathematik, T. LXXIII, p. 1, 1871. 



(**.) La C n —x data dalla (5), è la funzione interpolare d'ordine n — 1. (V. Genocehi, Atti deiia 

 II. Accademia delle Scienze di Torino, XIII, 1878, e Calcolo differenziale, pubblicato da G.Peano 

 pag. 90). 



(***) Sulle funzioni interpolari, Atti della R. Accademia di Torino, XVIII, 1883. 



