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interpolari, formate coi valori b n della funzione analitica nei punti a n . 

 Risulta da questo lavoro come sia superflua l'ipotesi della convergenza 

 di 2|«„ — a\, posta dal Froebenius. Il medesimo risultato si ritrova in 

 una Memoria del Bendixson ( *> (cui apparentemente non era noto il 

 lavoro del Peano) nella quale é ripreso lo studio delle serie della for- 

 ma (6), sempre nell'ipotesi che l'insieme a n abbia un unico punto limite a, 

 ed è rilevata l'analogia di quelle serie colle serie di potenze. Il Bendixson 

 per primo, si propone esplicitamente la ricerca della condizione di esi- 

 stenza di una funzione analitica che per x — a n prenda il valore b n , e 

 trova che questa condizione — necessaria e sufficiente — sta nella con- 

 vergenza della corrispondente serie (6) in un intorno del punto limite a. 

 In termini alquanto diversi da quelli usati dall' autore, il risultato fonda- 

 mentale cui egli giunge é in sostanza il seguente: 



Dato una successione a M di punti aventi a per limite, ed un sistema di 

 valori b„ , la condizione necessaria e sufficiente per V esistenza di una fun- 

 zione analitica che per x = a n assuma il valore b„ è che, formata la suc- 

 cessione 



C« — i 



A__^ Jk_ _, ,_ b«_ 



p'„(a,) pl(a 2 ) p,'(a M ) ' 



la serie 2C„z n abbia un cerchio dì convergenza, per quanto piccolo, non 

 nullo. 



Una gran parte della memoria del Bendixson é dedicata al caso, già 

 considerato, benché meno completamente, anche dal Froebenius, in cui 

 il punto limite dei punti a n é l' infinito : caso interessante, ma su cui non 

 ci fermeremo poiché non é in stretta attinenza colla questione che ab- 

 biamo in vista ( **>. 



16. Assai poco è stato detto per il caso che l'insieme A abbia più di 

 un punto limite. Nel citato lavoro del Peano è studiato (pag. 5) un in- 

 sieme particolare A composto di due punti a' ed a", ognuno dei quali é 

 però contato infinite volte, e precisamente a m _ x = a', a 2n = a" ; caso spe- 

 ciale di un insieme avente i due punti limiti a' ed a". L'autore trova che 

 le serie (6), che ora assumono la forma 



2\a zn -+- c ìn+l {x — a')\{x — a'Y{x — a") n 

 hanno per campi di convergenza le aree interne a cassinoidi aventi per 



("' Sur une extension à V in fi ni de la formule d' interpolation de Gauss, Acta Mathematica 

 T. IX, pag. 1, 188G. 



(""> A questo caso si riferisce pure una nota del Cazzaniga: Espressione di una funzione tra- 

 scendente intera che prende valori dati in punti arbitrariamente dati. (Annali di (Matematica T. X, 

 1881). 



