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Si avrà, dalla applicazione del teorema di Cauchy 



(6) 



f(x) = 2c„p n (cc) 



con 



(9) 



. = J_ r__f(y}dy__ 



2tiìJ p n +i{y){y — oc) 



IT) 



e lo sviluppo (6) sarà valido in tutto l'interno del campo G(R). Ma nello 

 sviluppo (6) sappiamo che i coefficienti e n dipendono in modo semplice 

 (v. forinola (5)) dai valori f(a n ) della f(cc) ; onde si conclude che 



Una finizione analitica regolare in tutto V interno e sul contorno di y è 

 esprimibile mediante una serie (6) in tutto il campo G; i coefficienti dello 

 sviluppo (funzioni inter polari J si ottengono dalle (5) mediante i valori che 

 la funzione assume nei punti dell'insieme a„. 



Si noti che il secondo membro della (6) é convergente, oltre che entro 

 il campo G, anche pei punti a n esterni a questo campo e che esso ha, in 

 questi punti, il rispettivo valore f(a n ). 



24. x\bbiasi una funzione analitica o ramo di funzione f(x), regolare 

 entro un'area semplicemente connessa che, per il nostro scopo, si può 

 senza restrizione supporre un cerchio di centro O : sia r il raggio del cer- 

 chio. Per il centro del cerchio si conduca un segmento rettilineo s's che 

 sia diviso per metà in e di lunghezza 2s, supponendosi s inferiore alla 

 terza parte del raggio del cerchio. 



Descrivendo due cerchi dai centri & ed S' con raggi uguali a 2s e con- 

 ducendo ai cerchi cosi costruiti le tangenti comuni HH' , KK' , si consi- 

 derino i contorni chiusi MSNS'M ed H' HPKK' P' H' , che diremo rispetti- 

 vamente g e y. Per ogni coppia di valori di ce, y tale che mentre ce é 

 interno al contorno g, y sia esterno al contorno y, è manifesto che lo 

 sviluppo 



_1 _ V Pnk.CC) 



• — CC JeJì 



y- 



Jpn+iiy) 



