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è convergente assolutamente ed in ugual grado. Moltiplicando ambo i 

 membri per f{y)dy ed integrando lungo il contorno y, si ottiene dunque 

 per f(x) lo sviluppo 



(6) f{x) = 2c„p n (oc) 



valido almeno per tutti i valori di x interni al contorno g. Da questa os- 

 servazione, e dalle facili estensioni che se ne possono trarre, si conclude 

 il seguente teorema : 



Per ogni funzione analitica regolare neW intorno di un punto a si può 

 dare una espressione aritmetica della forma (6) i cui coefficienti sono costruiti 

 linearmente mediante i valori che la funzione stessa assume in un insieme 

 numerabile di punti, posto su un segmento rettilineo e condensato in tutto 

 il segmento. Questo segmento può essere scelto in vari modi : basta per 

 esempio che, avendo il suo punto di mezzo in a, la sua lunghezza non su- 

 peri il terzo del diametro dell' intorno. 



In particolare, per ogni funzione trascendente intera si può dare una 

 espressione analitica sotto la forma (6), i cui coefficienti sono formati me- 

 diante i valori che la funzione prende in un insieme numerabile di punti 

 posto su di una linea arbitraria ma finita, l'insieme essendo condensato 

 in tutti i punti della linea stessa. 



VI. 



25. Abbiamo studiato, dal § 16 in avanti, la costruzione di una funzione 

 analitica che nei punti di un dato insieme numerabile A assume valori 

 dati, nel caso in cui l'insieme è condensato in tutto un segmento retti- 

 lineo di lunghezza finita. Vogliamo, in questi ultimi paragrafi, esaminare 

 il caso di un insieme numerabile i cui punti si trovano tutti su di una 

 circonferenza di centro o e di raggio r, che diremo per brevità circon- 

 ferenza (r); l'insieme essendo inoltre condensato in tutta la circonferenza 

 stessa. Si principierà anche qui dal cercare per quali valori di ce le serie 

 (6) convergono e sono atte a rappresentare funzioni analitiche ; a tale 

 uopo, indicando ancora con R il raggio di convergenza della serie 2e„«", 

 si potrà, allo studio della convergenza della serie (6), sostituire quello 

 della serie 



,-, Y l/>»(aQl 



essendo p un numero positivo minore di R per tanto poco quanto si vuole. 



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