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Indicando con d il limite superiore delle distanze del punto x dai punti 

 dell'insieme A, sarà 



d = r -+- \x\ , 



onde 



\p n {oc)\<{r-ì-\x\) n . 



Da ciò risulta che 



Se si ha r < R, la serie (6) conterge assolutamente ed in ugual grado 

 entro tutto il cerchio (R — r) e rappresenta di conseguenza, entro tale cerchio, 

 una funzione analitica. 



2(i. È perù facile di ottenere, per la convergenza della serie (6), una 

 condizione meno restrittiva di quella espressa dall'enunciato precedente. 

 A tale uopo, dividiamo la circonferenza (r) in 2, 3, ... n, ... parti uguali, 

 indi ordiniamo i punti a n dell' insieme A in gruppi della forma 



^M ' tt 2 1 ' ^2-2 ' ^3-1 ' ^3-2 ' 3-3 ' 



a n \ y a<n<z , 6t)?.3 , ■ « « a ììn , 



in modo che il punto a hl sia comunque sulla circonferenza, che i punti 

 a 21 , a 22 siano rispettivamente nella prima e nella seconda metà, ecc. ; in 

 generale, che i punti a nlJ a n2 , ... «„.«, senza coincidere con alcuni dei punti 

 dei gruppi precedenti, siano rispettivamente nel primo, secondo, ... n Hmo 

 arco della circonferenza divisa in n parti uguali. Per fissare le idee, si 

 può stabilire che l'origine delle divisioni sia il punto d'incontro della 

 circonferenza (r) coli' asse reale positivo, che gli archi si percorrino ruo- 

 tando nel senso positivo (contrario a quello delle lancette di un orologio), 

 infine che ogni punto di divisione della circonferenza in n parti uguali 

 faccia parte dell' arco che in esso incomincia. 



Si indichi ora con B il punto a nh , il quale si trova per conseguenza 

 neh' h simo arco della circonferenza divisa in n parti uguali, con E il prin- 



2ji 

 cipio di quello stesso arco e con M il punto x; si ponga £ = — , e si avrà 



MB< M E-t-s 



onde, sommando tutti i valori di h da 1 ad n : 



(a) 2MB? < 2 ME - -t- 2s IME +nr. 



Ma è noto dalla geometria che « la somma dei quadrati delle distanze 



