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 sarà convergente assolutamente ed in ugual grado sotto la condizione 



IxKi/R 2 -!- 2 , 



e rappresenterà per conseguenza entro il cerchio (^/R 2 — r) una funzione 

 analitica. 



27. Si noti che la serie (6) non solo converge entro il cerchio ([/E 2 — r 2 ), 

 ma anche per i punti a„ dell' insieme A. 



Il cerchio entro cui converge la serie (6) comprende tutto il cerchio (r) 

 sotto la condizione 



R > r[/2 . 



Se la serie 2e n *„ converge in tutto il piano, lo stesso é della serie (6). 



28. Nello sviluppo (8) ottenuto a § 20 si supponga che l'insieme A sia 

 quello di cui si é trattato negli ultimi paragrafi (§§ 23-25). Il punto y avrà 

 per minima distanza dai punti della circonferenza (r) la differenza r — \y\ 

 od \y\ — r, secondo che y è interno od esterno alla circonferenza (r) ; 

 onde sarà 



\(Pn+i{y)\>\\y\-r\»+K 



Ne risulta, per il teorema del § 24, che lo sviluppo (8) converge sotto la 

 condizione 



\<*\<)/\y\*—2r\y\, 



da cui segue che non solo y deve supporsi esterno alla circonferenza (r), 

 ma anche deve essere superiore in modulo a 2/\ Talché : 



Lo sviluppo (8) converge per tutte le coppie di valori di x e d' y tali 

 che x essendo interno al cerchio (£), y sia esterno al cerchio (r -+- |/r 2 -H £*). 



In particolare, se si vuole che x si possa prendere comunque entro il cer- 

 chio r, bisogna, per la validità dello sviluppo (8), fare \y\> r(l-f-j/2). 



29. Avendosi ora una funzione analitica f(x) regolare entro un cerchio 

 di centro o e di raggio r x superiore ad r(l-<-[/2), si moltiplichi lo svi- 

 luppo (8) per f{y)dy e s'integri lungo una circonferenza di raggio r 2 tale 

 che sia 



si otterrà per la funzione stessa uno sviluppo in serie della forma (6), va- 

 lido in tutto il cerchio (r) compreso il contorno, ed i cui coefficienti saranno 

 formati mediante le formule (5) in funzione lineare dei valori che la fun- 

 zione assume nei punti a» dell'insieme A. Questo risultato si può anche 

 presentare nella seguente forma : 



