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È agevole anche riconoscere ( l ) che per la *P sono multipli secondo 12 

 i punti B l ,....B s , sono doppie le linee K 6 , di m , Q m e tripli i punti di sezione 

 di ogni retta d hn con la corrispondente cubica Q m , punti che trovansi del 

 pari sulla curva K 6 . Di più la superficie <1> ammette 24 linee cuspidali, 

 che sono le curve C 4 della rete R dotate di punto doppio cuspidale, ed ha una 

 sviluppabile di piani tangenti doppi di 14 a classe e di genere 3, di cui ogni 

 piano re risulta tangente in un punto P della curva nodale K 6 alle quadri- 

 che del fascio che ha per base la C 4 = P 2 della rete. 



Per ogni punto e per ogni piano tangente della superficie il cono o 

 P inviluppo dei raggi del complesso T ammette per raggio doppio quel 

 raggio della congruenza Q 412 che é da contarsi per due fra i raggi appar- 

 tenenti al punto o al piano considerato, sicché la $ è superficie singolare 

 pel complesso F. 



E per un punto P della curva doppia K 6 della <I> e pel corrispondente 

 piano tangente doppio ti della superficie, pel piano n, cioè, che tocca in P 

 le superficie della R passanti per tale punto, si ha che il fascio (P — ti) 

 forma rispettivamente col cono della rete di vertice P e con un inviluppo 

 di 2 a classe situato in ti V assieme dei raggi del complesso V appartenenti 

 al punto P e al piano ti. Ne segue che dei 18 punti della K 6 situati sul 

 cono del complesso che ha per vertice un punto arbitrario dello spazio, 

 4 sono i vertici dei coni della rete passanti per O e gli altri 14 corrispon- 

 dono nel modo anzidetto ai 14 piani bitangenti della superficie <1> passanti 

 per O. 



Si ha anche che in un piano arbitrario della stella (Bi) i raggi del com- 

 plesso r costituiscono il fascio (Bi) ed un inviluppo di 2 a classe, e che in 

 particolare in un piano ji del fascio (di m ) i raggi del complesso si distri- 

 buiscono nei tre fasci di raggi (Bi), (B m ), (P) l' ultimo dei quali ha per 

 centro il punto di sezione di ti con la Ci m non situato sulla di m . E per es- 

 sere questa retta comune ai primi due fasci, ne segue che é doppia pel 

 complesso, il quale per ciò ammette 28 raggi doppii. 



Ora si ha il teorema che : Un complesso di inette di 3° grado che con- 

 tenga otto stelle di raggi delle quali quattro qualunque non abbiano i centri su 

 di un medesimo piano, è costituito dalle generatrici delle quadriche di una rete. 



Avendo infatti un complesso T 3 che contenga le stelle di raggi (Bi),.... (B s ), 

 se i centri di queste stelle si trovano su di una medesima cubica gobba C 3 , 

 ogni cono che proietta questa linea da un suo punto apparterrà per intero 

 al complesso, di cui perciò farà parte la congruenza delle corde della C 3 , 

 sicché il cono che proietta questa curva da un qualunque punto P dello 



(M Sturm. l a Nota citata. § 46 e 47. 



