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spazio ed il cono del complesso di vertice P avendo in comune nove raggi 

 di cui uno é doppio per il primo di essi, coincideranno in un unico ; cioè il 

 complesso avrà per linea direttrice la C 3 e sarà per ciò costituito dalle ge- 

 neratrici delle quadriche della rete di cui la C 3 é base. 



Se invece i punti B 1 ,.... B s non si trovano su di una medesima cubica, 

 la congruenza dei raggi del complesso appoggiati alla retta d lm ^ BiB m 

 (per l, m = 1, 2,.... 8) conterrà le stelle (Bi), (B m ) ed una congruenza Q\^ avente 

 per direttrici la di m ed una linea di 3° ordine appoggiata alla prece- 

 dente retta in due punti e passante per i sei punti B non situati sulla d ìm . 

 Questa linea sarà perciò gobba e non degenere e varierà col variare di di m 

 nel gruppo delle congiungenti a due a due i punti B l ,.... B s : vi saranno 

 cioè 28 C 4 di l a specie degenerate ciascuna in una retta ed in una cubica 

 gobba, che avranno in comune a due a due i soli punti B^,.... B s i quali 

 per ciò saranno la base di una rete di quadriche. Il complesso V 3 costituito 

 dalle generatrici di queste superficie avrà in comune col complesso T 3 le 

 otto stelle (Bj),.... (B s ) e le 28 congruenze Q%$ sicché coinciderà con esso, 

 donde il teorema. 



2. In una stella (B t ) del complesso T due raggi che appartengono ad 

 una medesima quadrica della rete generatrice R, si corrispondono in un'in- 

 voluzione I di Gei sei*. 



Infatti le coppie della / dovute alle quadriche di un fascio <75 = (C 4 ) 

 della R costituiscono il cono di 3° ordine H z sE^d hn C i , sicché tale cono col 

 variare del fascio (p nella R descrive la rete p che ha per base il gruppo delle 

 sette rette d tm della stella (Bi) e quindi la / é l'involuzione di Geiser 

 che ha per linee fondamentali le precedenti rette. 



Il cono unito della /, che é il cono jacobiano Z7 6 = dL della rete p, è 

 quello che proietta la curva K 6 , mentre il cono di 4 a classe dei piani so- 

 stegni delle coppie della / costituite da raggi infinitamente vicini, è tan- 

 gente alla superficie singolare del complesso. 



La rete R stabilisce del pari due corrispondenze birazionali H, H' fra 

 le stelle di raggi (Bì), (B m ), nelle quali si corrispondono rispettivamente due 

 raggi delle due stelle che siano generatrici della stessa schiera o di schiere 

 diverse di una medesima quadrica della rete R. 



Da due raggi corrispondenti nella H il gruppo /? degli altri sei punti 

 base della rete R viene proiettato secondo due sestuple proiettive fra di 

 loro, per ciò la H è una corrispondenza di 5° ordine Q) avente per linee 

 fondamentali doppie le rette d che proiettano dai punti Bi, B m i punti del 

 gruppo /?, in modo che ad una di tali rette d tn o d mn corrisponde nell' altra 



(.') Vcgg. Sturm. Das Problem der Projectivitat. Math. Annalcn; voi. 1°, cap. VII. 



