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La congruenza dei raggi che contengono punti coniugati infinitamente 

 vicini della / si spezza nella Q 5>6 comune al complesso T ed al complesso 

 delle tangenti al cono K 2 e nelle due stelle di raggi (B 7 ), (B s ); e notando 

 che ai piani del fascio (d 7S ) corrispondono le quadriche del fascio che ha 

 per base le C 7g , d 7s si deduce che la superficie punteggiata unita della / che 

 dà origine alla congruenza Q 5>6 ora indicata, é la superficie S s = d* 8 C 78 g 1 ....gt. 

 generata dai precedenti fasci. 



Di più si ha che nella / sono a due a due coniugati i raggi della con- 

 gruenza che ha per direttrici le d 7S , C 78 ; e siccome due raggi coniugati r, r- 

 segano la superficie unita S i dovuta alla stella di raggi (B 6 ), al di fuori 

 delle d 7s , C 7S , in due coppie di punti MN, M' N' situate su due raggi 

 m = MM', n = NN' della stella {B 6 ), perciò le r, r' si appoggiano en- 

 trambe alla d 7S nel punto in questa sega il piano mn , e le congiungenti i 

 punti corrispondenti delle r, r' formano l' inviluppo di 2 a classe del com- 

 plesso r situato nel piano mn della stella (B 6 ). Da ciò deriva un' altra ge- 

 nesi assai semplice dell' involuzione /. 



14. Esamineremo ora i varii casi particolari che si presentano pel 

 complesso T, quando la rete R di quadriche a cui é dovuto non è comple- 

 tamente arbitraria, come si è supposto finora, ma presenta delle particolarità. 

 l.° Si é visto (§ 6) che la tangente in un punto P della curva nodale 

 K 6 della rete R è lo spigolo che contiene due vertici coincidenti del tetraedro 

 autoreciproco comune alle quadriche che passano per la C 4 = P 2 della rete. 

 Ora se questa ha due dei suoi punti base B 1 , B 2 coincidenti in un unico 

 punto B, vi é in essa un cono S 2 di vertice B e vi sono co 1 curve basi 

 C 4 = B 2 situate su tale cono, sicché il punto B appartiene alla K 6 e la 

 tangente in esso alla curva riesce indeterminata, cioè il punto B è doppio 

 per la K 6 . 



E la superficie luogo delle C 4 della rete appoggiate ad una retta arbi- 

 traria s dello spazio, avendo in B un punto doppio, ha oltre di questo 

 20 punti in comune con la K 6 , sicché la superficie <ì>' luogo delle C 4 della 

 rete aventi per punti doppii i singoli punti della K 6 risulta di 20° ordine 

 e di 8 a classe ; cioè nel caso in esame la superficie singolare del com- 

 plesso r si spezza nel cono S 2 ^ B 2 della rete da contarsi due volte e 

 nella <!>'. L'inviluppo dei piani bitangenti di quest'ultima superficie dovuti 

 ai singoli punti della K & (§ 1) è di 12 a classe e di genere 2, perché i piani del- 

 l' inviluppo che passano per un punto arbitrario dello spazio sono so- 

 stegni di fasci di raggi del complesso F i cui centri formano col punto B 

 che conta per due, e con i vertici dei quattro coni della rete passanti per 

 O, il gruppo di sezione della K 6 con il cono del complesso F di vertice O. 



Sono anche bitangenti per la superficie $' i piani tangenti del cono 

 S 2 = B 2 della rete e quelli che passano per la congiungente i punti base 



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