— 30 — 

 mentre la distanza d di due suoi punti, di coordinate x i: x' bì è data dalla forinola 



3 



coshd = ^ x ì x 'ì — x o x 'o • 

 i 



Per ottenere l'equazioni differenziali delle geodetiche (rette), basterebbe eguagliare 



f* 1 

 a zero la variazione prima dell" integrale j ds e si troverebbero facilmente l'equazioni : 



n^oo ■ 



* — Xi = 0, (1 = 0, 1,2,3) 

 ds~ 



che, integrate, danno luogo alle altre in termini finiti : 



( 1 ) Xi = Xj cos hs -+- <£,i sen hs 



ove le Xi sono le coordinate di un punto Asso e le |, i coseni di una direzione per 

 esso, verificanti perciò l' identità quadratica 



i 



L' equazione di un piano si scrive facilmente osservando che, se con £,- denotiamo 

 le coordinate del suo polo rispetto all'assoluto 



00^ | 00.) I 00-^ — 00 j u .. 



si ha identicamente 



3 



(2) 2^-^ = 



i 



ove le Xj, esprimono coordinate correnti : indicando poi con d la distanza da esso di 

 un punto .r[, sussiste la formola 



3 



s'enAfl = 2a>i£ t — -a?ó£<>; 



i 



mentre per l' angolo (p di due piani ha luogo la correlativa 



3 

 1 



Se ora si considera una curva le coordinate dei cui punti siano funzioni del suo 

 arco s e si indicano con C; i coseni di direzione positiva della tangente, con iqi quelli 

 della normale principale e con £,■ quelli della binormale, le forinole surricordate del 

 Frenet, supponendo sempre lo spazio iperbolico, sono le seguenti: 



,ox dxj L _ d$j _ vii ch^ _ _^ £,- cXQj _ r {i 



ds ' '**' ds ' ~ p ''''' ds ~~ p T : ds ~~ T 



(i = 0, 1, 2, 3), 



