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Volendo ora esaminare in quali casi il raggio di questa sfera è costante, dovremo 

 derivare la (11) ed otterremo così l'equazione 



T dp\p__ + _d_ / dp\ j 

 ds ÌT ds\ dsj) 



dalla quale, non potendo T essere zero, seguiranno le due 



(12) d -P = 0, P-^±( T ^) = 0. 



v ds ' T ds \ ds J 



Supponendo verificato il primo caso, che cioè la curva sia a flessione costante, 

 l'equazioni (10) della linea dei centri delle sfere osculatrici si ridurranno alle 



(13) ocf ] = XiCoshR ■+- ffiSenhR, 



giacche si ha per la (11) 



p — tg7iR, 



e le (13) essendo anche l'equazioni della linea dei centri di curvatura della curva, ne 

 concludiamo che le due linee coincideranno 



Per vedere in quale relazione stanno fra loro la curva data C e la curva luogo C Q 

 dei suoi centri di curvatura, derivando le (13) avremo 



„.,.,„, = _senft* 



r° > 



da cui 



sen hR 



(14) ds = =t ds 



avendo indicato con ds l'arco elementare della C . Distinguendo in modo consimile gli 



altri elementi della curva, avremo intanto 



(15) g«°> = = i=C*; 



se al contrario sarà 



/ do y 



la sfera osculatrice esisterà sempre, ma sarà a centro ideale ; nel caso intermedio in cui 

 o sarà p=l ovvero la sfera osculatrice sarà costantemente un' or is fera, 



