— 37 — 



la quale forinola mostra che il prodotto delle torsioni delle due curve nei punti cor- 

 rispondenti è costante ed eguale al quadrato della flessione diminuita dell'unità, o, se 

 vogliamo, aumentata del valore della curvatura nello spazio, analogamente a ciò che 

 abbiamo trovato in geometria ellittica; mentre in geometria ordinaria si ha, come è noto, 



1 1 



TT 

 o 



.2 ' 



non comparendo l' espressione della curvatura che è zero. 

 Possiamo ancora notare la forinola 



CI 01 = ± li 



che segue dalle (18) e (19), rimanendo così completato il quadro delle relazioni che 

 passano fra* gli elementi delle due curve C e C Q . 



Osserveremo inoltre che come la C è la linea dei centri di curvatiu-a della C, così 

 questa è la linea dei centri di curvatura di quella; giacche se le (13) e la (17) eli- 

 miniamo le r/i, otterremo subito 



xi = xf } cos hR -+- rjf ] senhR . 



Passando al secondo caso, che sia cioè soddisfatta la seconda delle (12), siccome 

 si ha, differenziando le (13), 



^ = _o»ab|£ +!(*■£)]&* 



dovrà essere dx^^O, vale a dire x\ i)] = cost. 1 ' e allora le (10) mostrano subito che 

 si avrà identicamente 



— 2 xM 0) -+- av4 0) = coshR 



1 



per tutti i punti x,- della curva e quest' equazione esprimendo che i detti punti sono 

 ad egual distanza dal punto fisso x\°\ ne segue che la curva stessa sarà sferica e la 

 seconda delle (12) ne sarà quindi 1" equazione caratteristica (*). 



5. Evolute ed evolventi. — Mantenendo immutate le ordinarie definizioni, suppo- 

 niamo di avere una curva C di cui indicheremo con a? f le coordinate di un punto M 

 mobile in essa : indicando con x\ quelle del punto corrispondente .1/' di una sua evol- 

 vente C\ avremo evidentemente le equazioni : 



(20) x\ = X{ coshs — %;senhs 



esprimendo s l'arco della C contato nel senso degli archi crescenti. Derivando le (20) 



(*) Questo ragionamento vale quando è reale il centro della sfera osculatrice, ma non sarebbe dif- 

 ficile provare che esso regge egualmente se questo è ideale ovvero all' infinito. 



