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 ed osservando le (3) troveremo 



— — = cos hs , 



ds p 



da cui per l'elemento d'arco ds della C seguirà subito 



, sen hs 

 ds = ds 



P 



e quindi 



(21) S=g = -*. 



Queste equazioni ci mostrano subito che tutte le evolventi, di cui le (20) sono le equa- 

 zioni, della curva C e che costituiscono una semplice infinità sono tutte traiettorie 

 ortogonali delle generatrici della sviluppabile che ha la C per spigolo di regresso. 



Calcoliamo infatti i coseni di direzione della MM' in il/' : basterà per ciò consi- 

 derare le (20) come le equazioni della MM' supponendo x,- e ^ quantità fisse e de- 

 rivare rispetto ad s : otterremo pei coseni richiesti 



(ìoc 



— - XiSenhs — %,-coshs 

 ds 



e quindi per le (21) 



Sp dx i , dx 



( 5| ds ^° ds ~° 



la quale equazione esprime che effettivamente le evolventi stesse sono tutte trajettorie 

 ortogonali delle generatrici della sviluppabile considerata. 



Risolviamo ora la questione inversa, cercando cioè di determinare tutte le evolute 

 C' di una curva data C. Essendo M, M' due punti corrispondenti delle due curve, 

 dovremo perciò esprimere che la MM' è al tempo stesso normale alla C in M e 

 tangente alla C in M' . Chiamando x la lunghezza del segmento MM' e a l'angolo 

 che il segmento stesso forma con la direzione positiva della normale principale alla C, 

 avremo evidentemente le equazioni 



(22) x\ = Xicosht -+- (licosa ■+- £ t -sena)sen/iT 



nelle quali dovremo determinare le due incognite a e t. 



A tale oggetto, derivando le (22) rispetto ad s ed ordinandole, avremo le equazioni : 



dx\ Idi \ I cosa sen 7ìt\ ^ 



(23) — = (- sente) x, H- (coste ) h H- 



1 da\ dx \ 



T ds) ds ) l 



1 da\ , dx , \ r 



cosasenhx -H senacos/ix i Li 



T ds ds 1 



