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per le equazioni delle evolute richieste ; sicché il problema si risolve con una qua- 

 dratura (la determinazione dell'angolo a). 



Possiamo anche mostrare facilmente che tutte le oc' evolute di una curva giac- 

 ciono sulla sviluppabile polare della curva stessa ; giacche se nelle (26) sostituiscono 

 a p il suo valore tgJnv, avremo 



x, 



t> j (Xicosh'io -f- q'isenhw) cosa -+- ^ i sen a sen hw ì 



y cos 2 a cos trio — sen hw ' 



ossia, posto 



. , cosa 7 sen a sen Ino 



(e) cos/?/ = , , senht—-. 



y cos 2 a coshho — senhho y cos~a cos'hio — seirw; 



risulteranno subito le equazioni : 



(27) x\ = (colcos/no -+- ffisenhw) cosht -+- Cisenht , 



e le (e) mostrano inoltre che le singole evolute incontrano una stessa generatrice a 

 una distanza t dal centro di curvatura dell'evolvente data dalla forinola 



(28) tght — tga sen Ino . 



1 

 Nel caso che l'evolvente sia piana, dovendo allora essere — = 0, ne segue per le 



(25) che a dovrà avere un valore costante e le corrispondenti evolute saranno rap- 

 presentate tutte dalle (27). Fra queste vi sarà l'evoluta piana che corrisponderà al 

 valore zero di a, e poiché in tal caso la sviluppabile polare è il luogo delle normali 

 al piano dell' evolvente lungo la sua evoluta piana, per quanto abbiamo veduto, pos- 

 siamo concludere che tutte le altre evolute saranno trajettorie delle generatrici di questa 

 sviluppabile. 



Per determinare l' angolo sotto il quale le diverse evolute incontrano queste gene- 

 ratrici, deriviamo le (27) rispetto a io ed otterremo : 



dx\ I . , dt 



dx- ( dt \ 



(29) — = Xi ( senhw cosht -+- cosino senht — ) 



dio \ dio/ 



/ dt \ *- dt 



-+- io i I cosino cosht -\ sentito senht ) -+- C, — cosht . 



\ dio / dio 



da cui, indicando con ds' l'arco elementare delle evolute, ponendo cioè 



ds' =. dx\~-+- dx' 2 '-\- dx\ — dx' Q , 



seguirà subito 



ds' 7 / dt 



— -5 = cosht -+- ( — 

 dw \dio; 



