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avremo, sostituendo e riducendo 



costp = senacoshio . 



6. Le curve del Bertrand. — Denoteremo con questo nome le curve che hanno 

 le normali principali comuni e mostrarono, come applicazione delle formole precedenti, 

 che esse soddisfano a condizioni consimili a quelle cui verificano le curve dello spazio 

 ordinario. 



Siano perciò C e C due tali curve ed M, M' due loro punti corrispondenti : in- 

 dicando con t la porzione di normale principale comune compresa fra le curve anzi- 

 dette, avremo le equazioni 



(32) oo[ = xicosht -f- r/iSenht , 



da cui, derivando rispetto all'arco s della C, 



(ì ^ oc dt 



— - = Xjsenht \- £i cositi -+- 



ds ds 



dt ih ti\ 



vìì cosht — I ) seu/tt 



c ds \p TJ 



ovvero 



- _ (ìì _+. ?ì 

 ds ~ \p T 



dx\ dt „ 7 senht 



(33) — - = ocisenht- — -f- h ( cosht 



K ' ds ds *' \ p 



dt .. seri ht 



ma se con A[ indichiamo i coseni di direzione della MM' nel punto M' troviamo subito 



h\ — x; sentii -+- r?i cosht , 



ed esprimendo che la MM 1 e normale alla C' , dovrà essere soddisfatta la condizione 

 d" ortogonalità 



^1 ^ i cix i n < M^o _ dt 



ossia t — cost„ e (*). Le (33) intanto si semplificano nelle 



dx] „ / sentii \ „ seri tit 



(34) ** = &(«»* r)~ ? ''^' 



e poiché da queste segue subito 



, ,2 \ / , senht\ 2 seirht ) , „ 



(35) f/s = I cosM I -\ — | ds~, 



(*) Osservando che le C, C sono due traiettorie ortogonali della rigata di cui MM' sono le gene- 

 ratrici, il risultato è una conseguenza immediata di noti teoremi. 



