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gliendo risultati di grande e di riconosciuta importanza. Fra questi risultati, i più notevoli 

 ed acquisiti nel modo più completo e definitivo, sono quelli che riguardano le equazioni 

 integrali lineari : queste, e con esse lo studio, che vi si connette intimamente, delle 

 operazioni funzionali della forma (1), che si chiameranno operazioni integrali, hanno dato 

 un' estensione inattesa alle ricerche sulle operazioni lineari che agiscono in un campo fun- 

 zionale. In codeste ricerche, lo spazio funzionale è quello delle funzioni continue, o quelli, 

 più estesi ancora, delle funzioni integrabili nel senso di Riemann o delle funzioni 

 sommabili nel senso di Lebesgu e; dalle ricerche stesse, le operazioni lineari che un tempo 

 primeggiavano, come le forme lineari differenziali o alle differenze, vengono in qualche 

 modo ricacciate in seconda linea. Nei lavori ai quali alludiamo, e fra i quali il posto più 

 cospicuo è occupato da quelli di Hilbert e della sua scuola, le equazioni integrali e 

 le operazioni che ad esse si collegano vengono considerate sopratutto da un punto di 

 vista che in altra occasione ho chiamato quantitativo ; questo punto di vista è preva- 

 lente nelle questioni di meccanica e di fisica matematica che hanno data origine a 

 simili equazioni e ad esso si sono specialmente attenuti i numerosi autori che si sono 

 occupati della loro risoluzione e dei problemi affini, fra cui principalissimo quello della 

 sviluppabilità di una funzione arbitraria in serie procedente secondo una successione di 

 funzioni determinate : problema che a buon diritto si può considerare come quello della 

 rappresentazione lineare di un elemento arbitrario di uno spazio funzionale mediante una 

 data base. 



Ma se è grandissima in se, e per le applicazioni, 1' importanza di questo punto di 

 vista quantitativo od aritmetico sotto al quale si suole considerare il calcolo funzionale, 

 non per questo è privo d' interesse il punto di vista qualitativo, che si potrebbe anche dire 

 geometrico ; è sotto a questo punto di vista che deve venire tentata la classificazione 

 delle operazioni lineari ; a questo appartiene lo studio delle proprietà delle operazioni 

 integrali (1) in corrispondenza alle proprietà analitiche del loro nucleo 3.(os,y), la na- 

 tura analitica del risultato di una tale operazione in relazione con quelle dell' ente su 

 cui si opera (corrispondenza funzionale), le condizioni che regolano la distribuzione degli 

 elementi invarianti, ecc. Questo secondo modo di considerare la teoria delle operazioni 

 integrali starebbe di fronte al primo, all' incirca in quella relazione in cui la teoria 

 delle funzioni analitiche sta rispetto alla teoria delle funzioni arbitrarie di variabili 

 reali ; che, per altro, i due modi di considerare la teoria delle operazioni o delle equa- 

 zioni funzionali lineari abbiano fra di loro stretti legami, è ben naturale a priori, ed è 

 dimostrato, per esempio, da quei risultati del Poincaré, del Riesz e di altri, che 

 fanno dipendere la possibilità della risoluzione di un' equazione funzionale, cioè, una que- 

 stione di indole morfologica, da un criterio puramente aritmetico, 'ad esempio dalla con- 

 vergenza di una data serie. 



Il presente lavoro cui, per molte ragioni, non posso dare che il carattere di sem- 

 plice abbozzo, è il primo di una serie destinata ad illustrare il punto di vista al quale 

 ho per ultimo accennato. I risultati che esso contiene saranno, senza dubbio, giudicati 

 incompleti ; mi si permetta solo di ritenere non infondata la speranza che, nella dire- 



