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3. Ammetteremo che lo spazio 8 sia lineare. Intendiamo con ciò che se a, fi, y, . . . 

 appartengono ad S, vi appartenga anche 



aa -+- bfi -h cy -+- . . . . 

 per ogni sistema di funzioni a, fi, y, ... . 



4. Ammetteremo ancora che lo spazio $ sia denso. Intendiamo con ciò che, preso 



un numero positivo e arbitrario, esso contenga funzioni che, in tutto 1' intervallo J, si 



mantengano in valore assoluto inferiori ad e. Questa condizione è pochissimo restrittiva ; 



basta infatti che fra gii elementi di 8 vi sia una funzione a limitata in tutto /, perchè 



cne 

 la condizione sopra detta sia verificata, poiché, se è \ a < m, la funzione — che ap- 



m 



partiene ad S, è in valore assoluto inferiore ad e. Se è denso, esso contiene, insieme 



ad un suo qualunque elemento a, infiniti elementi a tali che sia \a! — a\ < e ; questi 



si diranno appartenere all' intorno (e) di a. 



5. Diremo che p è elemento limite di S se è possibile di estrarre da S una suc- 

 cessione a 1} a, 2 ,.. .'". a n , . . . di elementi avente per limite p e tale che la convergenza 

 al limite sia uniforme nell' intervallo </. Scriveremo in tale caso : 



lim a„ = p ; 



11=00 



con questa scrittura intenderemo dunque, senza che sia necessario di ripeterlo esplici- 

 tamente, la convergenza uniforme al limite in tutto /. Lo spazio >$ si dirà chiuso se 

 contiene i suoi elementi limiti. 



G. Le operazioni che si possono applicare agli elementi di & si dicono operazioni 

 funzionali. Noi ci occuperemo specialmente di quelle, fra codeste operazioni, che am- 

 mettono le seguenti proprietà : 



a) Applicate ad un elemento di S, esse danno origine ad uno, o più, elementi 

 di S medesimo. Considereremo il caso più semplice, in cui 1' operazione, applicata ad un 

 elemento di S, genera un solo elemento dello spazio medesimo ; essa viene detta allora 

 univoca. 



b) Se A è l'operazione considerata, ed A(a) il risultato che si ottiene applicandola 

 ad un elemento di a, deve essere per ogni coppia elementi a, fi e per ogni numero e : 



A{a -h fi) = A (a) -+- A(fi), A(ca) = e A (a) ; 



L operazione A è cioè distributiva. 



e) Preso un numero e arbitrario positivo, deve esistere in corrispondenza ad e e 

 all'operazione A un tal numero q, che se l'elemento a di S, in tutto /, soddisfa alla 



