— 121 — 



disuguaglianza 



|«| < Q 



ne consegua 



\A{a)\ < e ; 



l'operazione A si dice con ciò continua. 



Diremo lineare un 1 operazione che soddisfa alle tre proprietà precedenti a), b), e). 

 Indicheremo le operazioni dello spazio 8 colle maiuscole latine. 



7. Osserviamo subito che se A è un'operazione lineare, da 



lini a n = 6 



Il = oo 



segue immediatamente 



lini A(a n ) = A(0). 



In particolare, se la serie 



1 



è convergente uniformemente in Z, è 



A Za,, = 2>A(a n ), 

 cioè l' operazione A è distributiva ai termini della serie. 



8. Come esempi di operazioni lineari si possono citare, fra le più ovvie : 



a) la moltiplicazione di qualsiasi elemento di 8 per un numero costante, 



b) 1' integrazione definita 



dove gli elementi a di $ si suppongono limitati ed integrabili in un intervallo / con- 

 tenuto in /, ed a (a?, y) è una funzione limitata di oc, y data, per la variabile ce nel- 

 1' intervallo J, per la variabile ?/ nell' intervallo / , ed integrabile in epiesto intervallo. 



9. Per le operazioni lineari univoche si definiscono nel modo più immediato l'ugua- 

 glianza e la somma. Le operazioni A e B si diranno uguali nello spazio S se, per ogni 

 elemento a di S, è A(a) = B(a)} l'operazione C si dirà somma di A e B e si porrà : 



C==A-h B 



se per ogni elemento a di # la C(a) è la somma delle funzioni A (a) e i?(a). Le leggi 

 formali dell' uguaglianza e dell' addizione sono manifestamente conservate. 



10. Il prodotto di due o più operazioni lineari univoche in S verrà definito nel 

 modo solito. Se A e B sono le due operazioni lineari date, si vede subito che AB, 



