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applicata ad un elemento di 8, dà un elemento di $ ; e che è operazione univoca, distri- 

 butiva e continua. Pertanto le operazioni lineari in 8 formano un gruppo, in generale 

 non commutativo. Ammetteremo, per le operazioni che saranno d' ora in avanti consi- 

 derate, che la moltiplicazione sia associativa. 



Dalla definizione di prodotto si deduce subito quella di potenza di un' operazione 

 lineare, e dalla proprietà associativa risulta la legge degV indici 



a ni ah a ni •+- n 



onde la interpretazione dell' esponente uno, dell'esponente zero e dell'esponente intero 

 negativo: sarà A 1 = A, A rappresenta l'operazione identica, A~ m è l'inversa di A 



m 



11. a) Sia data in S una successione di operazioni lineari 



( 1 ) Ap A s , . . . , A„,.. . . ; 



e per un elemento a di S, le A„(a) tendano ad un limite /? pure appartenente ad $'■ 

 scriveremo 



(2) lim A n (a) = @; 



n r= co 



per quanto è stabilito al § 5, s' intende con ciò che la convergenza al limite /? sia 

 uniforme rispetto ad x in tutto 1' intervalle /. Gli elementi a di S pei quali è soddis- 

 fatta una relazione della forma (2), cioè per i quali la A n (a) ammette limite, formano 

 un insieme S contenuto in S, ed evidentemente lineare; l'elemento fl, limite di A„(a), 

 si può riguardare come ottenuto da a mediante un'operazione L = \imA n , valida in 

 S ed evidentemente distributiva. « = =>=. 



b) La successione (1) converge uniformemente per un intorno di a, se preso in numero 

 positivo arbitrario e, esistono due numeri positivi n, g tali che per ogni n > n e per 

 ogni elemento a di S soddisfacente alla condizione \a' — a | < g, è 



\L(a') — A ri (a')\<e. 



12. Le A n si diranno ugualmente continue se, preso e positivo arbitrario, esiste 

 un numero positivo g tale che per I a I < g, sia, per qualunque n, \A n (a)\ < e. 



13. « Se >$ ì è denso, e la (1) converge uniformemente in un intorno di ogni ele- 

 « mento a di S l} L è un'operazione lineare in S . » 



La L è operazione distributiva ; basta mostrare che è continua. Ora, la differenza 

 L(a) — L(oJ) può scriversi : 



L(a) — A n (a) H- A n (a') — L(a) -+- A n (a) — A n (a') 

 onde 



(3) | L(a) — L{a) | < | L(a) — A„ (a) | -+- | L(a) — A n (a)\ -+- \ A n {a) — A n {a) \ . 



