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Si scelga un numero positivo arbitrario e. Preso un elemento a in jS\ , per le ipo- 

 tesi, esistono due numeri, n 1 e g, tali che per un a di S l tale che sia \a — a \ <C g, 

 e per n "> n, è 



| £(a) — A n {a) | <|, | £(<*') — Aja')\ <|. 



Fissato il valore «, poiché A„ è continua, esiste un intorno (g) di a tale che per ogni 

 a" contenuta in quest' intorno, è 



\A n {a) — A{a")\ <|. 



Ma $ t essendo denso, si può prendere a' di $, tale che sia ad un tempo in (g) ed 

 in (gfj), e sarà allora, per la (3) : 



| L(a) < L(a') | < e. 

 Con ciò è dimostrato che Z è continua, ed è pertanto un' operazione lineare. 



14. « Se le A n sono ugualmente continue, lo spazio >S l è denso, e la (1) converge 

 « uniformente in un intorno di ogni a di /S\ . » 



Essendo e un numero positivo arbitrario, esiste per l'eguale continuità, un numero g 



I ri li \ e 



tale che per \a — a \<C g, è | A„(a ) — A„(a) | < 7 , qualunque sia n. Sia ora a un 



un elemento di S ; le A n (a) avendo limite, vi sarà un n tale, che per n^> n e per 

 ogni intero r, è in tutto ./ : 



6 



\A n + ,.(a) — A n (a) | < - . 



Si consideri un elemento a' di S per il quale sia 



(4) | a ~ a\ < g 



e si formi 

 A n + r {a') — A n (a') — A„+,.(a') — A„ + ,.(oc) -+- .4„(a) — A n (a) -+- A„^ r (oc) — !„(«). 

 Ne viene : 



| 4 JI+f .(a') — A n (a')\ <\ A „,._,. (a) — A n+r (a) \-ì-\A n (a) — A n (a)|-4-|A n+r (a) — A„(a) |. 



Qui, per la (4), in seguito alla uguale continuità delle A„, i due primi valori as- 



e ■ e 



soluti del secondo membro sono entrambi minori di — ; per la scelta di n, è minore di — 



o o 



il terzo valore assoluto, onde è, per n >> n e per qualunque r : 



| A„^.y(a') — A n (d) | < e. 



