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Ne risulta anzitutto che a appartiene ad S x , il quale è pertanto denso ; inoltre, 

 ne viene ancora che la (1) converge uniformemente in tutto l'intorno (g) di a. 



15. Se le A n sono uniformemente convergenti in un intorno di ogni a di S ,, e se 

 S x si suppone denso, le A sono ugualmente continue. 



Vi sia la convergenza uniforme per ogni a. Preso e positivo arbitrario, gli cor- 

 rispondono dunque due numeri positivi g, in tali che per ogni a' di $ tale che sia 

 \a — a' | < g e per ogni n >» m , è 



\A„{a') — A u + r (a')\ < -. 



Ora è 

 |4« +»■(«) — A H+ ,.(a')| <\A n (a') — A n+r (a')|H-|A„(a) — A tt +,.(a)| -+-|A n (a)— «A„(a')|. 

 Ciò posto, si fìssi n >> w. Essendo A n continua, vi è un numero positivo g tale che 



I Fili I I e 



per [ a — a | < g , è | A„(a) — A n (a ) \ < - . 



Preso dunque a' nel più piccolo dei due intorni (g) e (g) di a, si ha pertanto 



\A„ + ,.(a) —A n + r (a') | < e 



per r = 1, 2, Ma, n essendo stato fissato, per ognuna A x , A , ... A n _ l vi è un in- 

 torno di a, rispettivamente (^ 1 ) (g 2 ), . . . (g n _ } ) tale che per a in g i: è 



| Ai(a) — Aj(a)\ <. e (i — 1, 2, . . . n — 1). 



Preso pertanto il minimo fra intorni (g), (g), (gì) {i = 1, 2, ...n — 1), in questo 

 intorno minimo è | A n (a') — A n (a) \ << e per tutti i valori di n. Le A n {a) sono dunque 

 ugualmente continue. 



Dalla proposizione del § 14 e da quella del § 13 segue che « se le A n sono ugual- 

 mente « continue, la L è una operazione lineare. » 



16. « Se le A n sono ugualmente continue, lo spazio S x è chiuso. » 

 Ciò significa che se una successione 



(5) a p a 2 , ... a n , . . . 



di elementi di S^ tende al limite y, esiste in S x il limite di A n {y) per n=cc. Per 

 dimostrare ciò, scelto un numero positivo e, assegniamo il numero positivo g che, per 



q 

 l'uguale continuità, rende, qualunque sia n, \A n {a)\<C- se è \(J\<ig- Nella suc- 

 cessione (5), scegliamo ora una a p tale che sia in tutto /, 



I a p — 7 I <9- 



