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 Considerata allora la differenza 



A n+r {y) — A n (y), 



essa si può scrivere : 



(A n + r (y) — A n + r {a p )) -+- (A„(a p ) — A„(y)) -+- (A n + r (a p ) — A n (a p )). 



Qui i valori assoluti delle due prime parentesi sono entrambi inferiori ad -, qua- 



lunque sia n ; si scelga poi n tale che la terza parentesi risulti, per ogni r, inferiore 

 e 

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ad — , il che è possibile poiché a p appartiene ad S ; risulterà 



\A n + r {y) — A n {y)\ <e, 

 cioè y appartiene ad j$ x . 



17. Se a appartiene ad $ , non ne viene in generale che vi appartenga A n (a). Ciò 

 accade però se le A 1} A 2 , . . . sono operazioni fra loro permutabili. Infatti, essendo A p 

 un'operazione qualunque della successione (1), è in tale ipotesi 



A n + r A p (a) — A n A p (a) = A p (A n+r (<*) — A„{a)) ; 



essendo e un numero positivo arbitrario, sia g il numero tale che per | a \ <C g è 

 | A p (a) | <C 6 ; basterà fare n tale che per n > n sia 



\A n + r (a)~ A„(a)\ <g 

 perchè ne risulti 



| A ìl + r Ap{Ct) A n A p {CX,) | <C. 6 ■) 



e con ciò si vede che A p (a) appartiene ad S l . 



Da queste e dal § 16 risulta che « se le A„ sono permutabili ed a e un elemento 

 « di jS 1 , anche L(à) è elemento di $ , qualora le A n siano ugualmente continue. » 



18„ Delle cose dette nei §§ precedenti facendo l'applicazione alle serie di opera- 

 zioni (*), si ha che : 



a) Una serie ^A n , uniformemente convergente in un intorno di ogni elemento 



n = 1 



di uno spazio denso S (§ 11), rappresenta in $ un'operazione lineare. 



b) Se le somme parziali della serie sono ugualmente continue, lo spazio in cui 

 converge la serie è denso, e la serie vi converge uniformemente in un intorno di ogni 

 elemento dello spazio stesso. 



(*) Dicendo che la serie di operazioni YtA n converge per un elemento a di S, si intende, conforme- 

 mente a quanto si è stabilito al § 5, che essa converge uniformemente rispetto ad so in tutto l' inter- 

 vallo /. 



Serie VI. Tomo Vili. 1910-11. 18 



