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e) Se la serie ZA n è convergente e B è una operazione lineare, anche 2i?A ; , è 

 convergente ed è 



B(lA n ) = 2BA n . 



d) Se la serie 2A„ converge per l'elemento a e le A n sono permutabili, la serie 

 è convergente per ognuno degli elementi A p (a), (p — 1, 2, 3, . . .). 



II. 



19. Sia A un'operazione funzionale lineare data per uno spazio funzionale S. La 

 serie di operazioni 



(1) R = Yàk v ~ l A n 



rappresenta per gli elementi a di $ pei quali converge, un' operazione distributiva ; 

 se consideriamo uno spazio denso di elementi a in cui la R converga uniformemente 

 nell'intorno di ogni elemento, essa rappresenterà in codesto spazio un'operazione li- 

 neare (§ 13). È appena necessario di ricordare che se per un valore k del parametro k 

 la (1) converge, essa converge (assolutamente, ed uniformemente rispetto a k) per tutti 

 i valori di k tali che sia I k | < I k | . 



Detto S x V insieme degli elementi pei quali (1) converge, se a è un elemento di S x , 

 convergerà anche la 



(2) AR= 2k n ~ 1 A" + 1 ; 



ne risulta che A ed R sono permutabili, e che A(a), A 2 (a),... appartengono pure ad 

 /S'j (§ 18, e, ci). Per tali elementi a si ha dunque 



R(u) — kAR(a) = A(a). 



Ad una operazione R che soddisfi alla relazione precedente si dà il nome di risol- 

 vente di Fred ho Im dell'operazione A. La ragione di questa denominazione sta in 

 ciò : che se si ha l' equazione funzionale 



(3) <p — kA{(p)-=a, 



in cui a e un elemento dato e (p un elemento incognito (detta equazione di Fredholm 

 nel caso, maggiormente studiato, in cui A sia un' operazione integrale) e se oc appar- 

 tiene ad S v la soluzione ne è data da 



(4) (p = a-hkR{a), 



come si verifica immediatamente. 



