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20. Non si può dire molto di più sulla natura delle operazioni lineari, sulle ripar- 

 tizioni che esse producono nello spazio su cui operano e sulla risoluzione delle equa- 

 zioni funzionali in cui esse figurano, se non si specificano maggiormente, mediante 

 opportune limitazioni (*). In questo lavoro vogliamo mostrare, in particolare, come 

 l'assunzione di speciali ipotesi circa alla natura» della risolvente R, riguardata come 

 funzione analitica del parametro k, permetta di giungere a notevoli conclusioni circa 

 alla classificazione delle operazioni lineari. 



Fra le ipotesi alle quali accenniamo, ha particolare importanza quella che le sin- 

 golarità della R, in quanto è funzione analitica di /e, siano indipendenti per posizione 

 e per natura dalla scelta dell'elemento a su cui si opera e dai valori della variabile oc \ 

 se, a prima giunta, questa ipotesi può sembrare troppo restrittiva ed arbitraria, la sua 

 considerazione viene però giustificata dal fatto che esso si è trovata verificata nei casi più 

 notevoli studiati fin qui e nelle ricerche che ora si proseguono sulle equazioni integrali (**). 



III. 



21. Come primo caso nell' accennato ordine di idee, ci proponiamo di studiare 

 quello in cui 



L' operazione lineare non degenera A, data in un S, ha una risolvente R che, per 

 ogni a di S : 



1°) è trascendente intera rispetto al parametro k ; 

 2°) come funzione di oc, è convergente uniformemente in .1 ; 



3°) come operazione, è uniformemente convergente (§ 11, b) per l' intorno di ogni 

 elemento a. 



Come si è visto la terza di queste ipotesi significa che, preso il numero posi- 

 tivo e arbitrario, esistono per ogni a di S due numeri positivi g, m tali che per tutte 



(*) Fondandomi su considerazioni alquanto diverse da quelle che inspirano il presente lavoro, ho già 

 indicata una di queste limitazioni, che permette di trattare, in modo astratto, un caso particolare compren- 

 dente le operazioni integrali lineari regolari (o di Fredholm). (V. Meni, dell' Acc. delle Scienze di 

 Bologna, S. VI, T. Ili, 1906, p. 143). 



(**) Non è però da tacere come in casi, anche assai semplici, di operazioni distributive, non si verifi- 

 chino tali ipotesi. Ad esempio, l'operazione che consiste nella semplice moltiplicazione dell'elemento 

 arbitrarlo a(x) per una funzione fissa -q(x), ha per risolvente : 



"W — l_A,j(aO' 



le cui singolarità, come funzione analitica di k. sono indipendenti da oc ma dipendono da x\ mentre 

 l'operazione di derivazione, applicata alle funzioni della forma oc(x) = e™, ha per risolvente 



1 — he 

 le cui singolarità sono indipendenti da x, ma dipendenti da e, cioè dall'elemento funzionale oc. 



