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 onde 



A»(o) = , 



a 



che è in contraddizione colla (1). Possiamo quindi notare che le operazioni di tipo V 

 non ammettono elementi invarianti per alcun valore finito del parametro k. 



23. La proprietà (1), che caratterizza le operazioni del tipo V, permette di sta- 

 bilire, per sistemi di un numero arbitrario di simili operazioni fra loro permutabili, 

 un calcolo di una singolare semplicità, generalità ed efficacia. Questo calcolo è stato 

 sviluppato dal Volterra, in alcune recenti note (*), per le operazioni date sotto forma 

 di « operazioni integrali fra limiti variabili » nel caso delle loro permutabilità. Le pro- 

 posizioni date dal Volterra per le operazioni integrali, sono qui considerate nel caso 

 generale astratto di operazioni lineari che abbiano la proprietà (1). 



24. Si consideri dapprima una serie di potenze di una variabile s, soggetta alla 

 sola condizione di non essere sempre divergente (di avere un raggio di convergenza non 

 nullo) ; sia essa 



(6) *(*)= £*»*"■ 



H = 



Si costruisca un simbolo operatorio sostituendo nella (6), al posto di z, il simbolo A rap- 

 presentante un' operazione di tipo V ; si ottiene così : 



(7) P = j^c n A'\ 



In forza della (1), la serie (7) risulta assolutamente ed uniformemente convergente 

 in /, e uniformemente convergente in un intorno di ogni elemento a di S ; essa rap- 

 presenta pertanto (§ 13) una operazione lineare applicabile a tutto S, ed è inoltre per- 

 mutabile con A. Si verifica immediatamente che P{a) appartiene ad S. 



25. Se nella serie (6) è nullo il coefficiente e , la operazione P è del tipo V. 

 Si ponga infatti 



p(z) = zq{z) = z(Cj -+- c 2 z H- c/ 2 -H . . . ) ; 



facendone la potenza r sima , viene 



p*(z) = z r q r {z) = z r {c ro -+- c ri z +- c ro _z 2 -+-...) 



convergente nello stesso cerchio di p(z). Sia t un numero positivo inferiore al raggio 

 di convergenza di p{z), e sia h il massimo valore assoluto di p(z) per 1 z | <it. 



(*) Rendiconti della R. Accad. dei Lincei, 20 febbraio, 3 e 17 aprile 1910. 



