— 130 — 

 Preso un numero s grande a piacere, si determini un s { tale che sia ad un tempo 



(8) ^>s, s l t>s; 



allora, per le ipotesi fatte su A, preso un a in $, esisterà un numero e tale che per ogni m 

 e per ogni a in un intorno di a, sarà 



(9) |il w (d)|<4- 



s i 



Ciò posto, le regole formali di moltiplicazione delle serie di potenze di P essendo le 

 stesse di quelle delle serie di potenze di una variabile, si avrà 



P r (a) = c ro A r -h c r .A'- +1 -+- c r9 A r 



Ora, essendo 



e 



h r 

 i < — 





avremo per le (9) 







1 P r (a) ! < ch r ( \ 



h 



- *' -4- ì 



^ s r+8 1- ■ • -y 



o, tenuto conto delle (8) : 







| P'\a) | < e (I -+- 



\S r ! 



ì 



; r-t-l ~^~ - 



\ C S 



") " s r s — 1 



Esiste dunque un numero 



cs 



s — 1 

 tale che per tutto l'intorno considerato di oc, è 



\P r (a)\<^; 



s 



la P soddisfa dunque alla (1), ed è pertanto del tipo V. 



26. Se due operazioni A, B permutabili sono del tipo V, è tale anche il loro prodotto. 

 Si consideri l' elemento di S rappresentato da 



/? == a -+- sB(a) -+- s 2 B-(a) -+-.... 



s essendo un numero positivo grande a piacere. Essendo s' pure positivo arbitrario, 

 esiste un numero e tale che per ogni m è 



U m (^)l<^ 



