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ossia 



I A m (a) -+- sA m (a) -+- s 2 A m B%a) ■+- . . . I < 4~ • 



i s m 



Ne viene, per una nota proprietà delle serie di potenze : 



o o 



Se in particolare si fa s = s , m = n, viene, poiché A e B sono permutabili 

 (11) I {AB) m (a) I < — °— 



e questa disuguaglianza valendo in tutto un intorno di a, le AB verifica la (1) ed è 

 quindi del tipo V. 



27. Estendendo ora quanto è stato detto al § 24, consideriamo una serie di po- 

 tenze di più variabili z , z , .. z q : 



(1?) P( 2 i> 2 2 ' • • ^ = 2 M j2„ 2 • • ■S n ,.c rtli „ 2 ,,,„ 9 c' 1 'i^ 2 - • • Zq q i 



la quale non sia sempre divergente ; consideriamo poi un sistema di q operazioni del 

 tipo V, fra loro permutabili : siano esse A { , A 2 , .. A q . Si costruisca il simbolo operatorio 



(13) P(A V A 2 , . . A q ) = 2 Ml 2„ 2 , . ^c niin2 ... Vq A'^A^ . . . A%* ; 



in forza della proprietà (1), cui soddisfano le Ai, e della proposizione del § precedente, 

 la serie del secondo membro di (13) risulta assolutamente ed uniformemente conver- 

 gente in un intorno di ogni elemento a di S ; essa rappresenta quindi, in S, un'ope- 

 razione lineare, permutabile con ciascuna delle A x , A 2 ,..A q . 



28. Se nella serie (12) il coefficiente c u0 tì è nullo, l'operazione P è pure del tipo V. 



Per semplicità, dimostreremo questa proposizione nel caso di q = 2 : salvo le mag- 

 giori complicazioni di scrittura, la dimostrazione si estende senza difficoltà al caso di q 

 qualunque. Sia dunque 



p(z, a) = Jc M ; M «" (c 00 = 0) 



ni, ii 



una serie di potenza non sempre divergente, e si costruisca, colle operazioni A, B per- 

 mutabili e di tipo V, l'operazione 



P(A, B) = 2 c mn A m B n . 



m,n 



