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La p(z, u) non essendo sempre divergente, si possono assegnare (ed in infiniti modi) 

 due cerchi aventi i centri nell" origine, 1' uno nel piano z, l' altro nel piano u, e tali che 

 la serie converga per ogni coppia (z, u) interna ai cerchi medesimi. Si prenda un nu- 

 mero positivo t, dove il punto indice t sia interno ad entrambi i cerchi ; la serie sarà 

 convergente per i valori | :• | <C t, \u\ <C t, e sia h il massimo valore assoluto di 

 p(z, u) per tali valori. Si formi ora la potenza r s,ma (r intero positivo) di p(z, u) ; 

 ordinando per le potenze di z, u, verrà : 



iiì , n 



(14) P ( z j u ) ^J C >n,n z u 1 



e sarà, per una nota proposizione : 



(1°) I C m,n I JS ., ; 



h r 

 f 



D' altra parte, la potenza r suna dell' operazione P si ottiene colle stessè regole formali 

 della p 1 \ e si ha : 



(1 6 ) P r (A,B) = 2 i c% iU A m B\ 



m,n 



Si noti infine che nella (14) e nella (16), i coefficienti c^ n sono tali che è ni -+- n !> r . 

 Ciò posto, scelto un numero s grande a piacere, si prenda un s i tale che sia 



(17) Sj =• sk, k > 1 ; 



indi si prenda s 2 positivo abbastanza grande perchè sia ad un tempo : 



(18) *«>"*»» y>V 



In virtù della (10), e essendo opportunamente scelto, è per ogni coppia m, n e per 

 per un intorno di ogni elemento a : 



I A m B n I <- 



m-t-?i ? 



onde, per la (15) 



eh 





ed essendo m H- n !> r, si avrà per le (18) 



I 6 m,»i^ -° | \ m-t-n ' 



Da ciò segue che, poiché lo sviluppo (16) contiene termini omogenei di grado r, poi 



