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 di grado r -t- 1 , di grado r-f-2, .. in A e B, sarà 



ci r -f- 2 r h- 3 



/^u, 5) i < 4 (>- -+■ 1 



S ^ S 2 



(r-f-l)c / 2 _ 3 \ (r+l)c 



s; \ s s 



<K): 



Posto -xz=c', e tenuto conto della (17), viene: 



K) 



j P^, *) | < C ' ( ''- Hl) ; 

 ma poiché — tende a zero per r ■=. oo, così si può assegnare un numero e" tale 



rt- 



che per ogni valore di v sia 



| P''(A, B) |< ^ . 



La P appartiene dunque al tipo F. Si verifica immediatamente che P r (A, B), applicata 

 ad a, dà un elemento di S, e che V operazione P è permutabile con A e B. 



29. Dato in uno spazio funzionale lineare 8 un sistema di operazioni di tipo V, 

 fra loro permutabili. A ì ,A 3 ,..A p , si possono dunque dedurne infinite espressioni ope- 

 rative mediante la sostituzione di A l} A , .. A p in serie di potenze arbitrariamente prese 

 di p variabili, soggette alla sola condizione di non essere sempre divergenti e di avere 

 uguale a zero il termine indipendente dalle variabili. Reiterando indefinitamente il pro- 

 cesso indicato, si ottiene un insieme (V) di operazioni, avente la potenza del continuo : 

 tutte le operazioni del sistema sono definite, lineari in S, appartenenti al tipo V, per- 

 mutabili colle operazioni A , A 2 , . . A p e permutabili fra loro. Per codesto insieme (V) 

 valgono le considerazioni fatte dal Volterra per il caso delle operazioni integrali fra 

 limiti variabili permutabili fra loro (*), considerazioni che permettono la risoluzione di 

 infinite classi di equazioni integrali. Quando le considerazioni si vogliano estendere al 

 caso di operazioni lineari qualunque di tipo V per le quali non si presupponga alcuna 

 rappresentazione integrale, converrà prendere le mosse da un' equazione 



(19) p(z v z t ,...z r ,u) = 0, 



dove il primo membro è una serie di potenze 2, z 9 , . . z r , u ; supposto che il punto 

 z.= z 2 =..z r =0 non sia punto critico per la u, definita da (19) come funzione 



C) V. il § 4 della Nota dei Rendic. della R. Accad. dei Lincei, 20 febbraio 1910. 



Serie VI. Tomo Vili. 1910-11. 19 



