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 implicita di % v z 2 , . . z r , se ne ricaverà nel modo noto 



(20) U = 2 C 'n in2 . • nX 1 *»» • • • Z r r , ( c Ó...O = 0), 



dove lo sviluppo sarà convergente in un intorno del punto z l3 z 2 , . . z = 0. Sostituendo 

 ora nella (19), al posto di z v z 2 , . . % r le A v A 2 , A r , e ponendo al posto di u un sim- 

 bolo operativo Z7, si avrà un' equazione 



(21) P(\,A 2 , ■■ A r , U) = 0: 



equazione che si potrebbe dire operazionale rispetto ad U, poiché è equazione funzionale 

 solo quando si intenda rissato l'elemento a cui è applicato il sistema delle A. Questa 

 è risoluta non solo formalmente, ma effettivamente in tutto lo spazio S, dalla 



che è operazione del tipo V. 



30. Come caso particolare, sia un'operazione di tipo V e permutabile con A, 



della forma 



Pz^c^A -+- c 2 A 2 -+- cfì -+- . . . . 



Neil' ipotesi che sia c l =|= 0, si calcoli la serie inversa di 



u = c x z -+- c 2 z 2 -+- c 3 z 3 -+- ; 



con uno qualunque dei noti metodi che si hanno per il ritorno delle serie di potenze ; 

 ne verrà : 



z ■= CjU -+- cj.c h- c- A u -|- .... ; 



pertanto, P operazione A sarà espressa in funzione di P, da 



A = c\P-+-c 2 P 2 -i-c[P s -+- .... 



Sui sistemi (7) di operazioni si presentano questioni varie ed interessanti, che però 

 non è qui il luogo di considerare: accenniamo, fra queste, al problema (che il Vol- 

 terra dice fondamentale nel suo studio sulle operazioni integrali permutabili (*)) della 

 ricerca di tutte le operazioni di tipo V permutabili con una data, e alla discussione 

 della polidromia cui danno luogo le equazioni della forma (21) nel caso che il punto 

 % = z 2 = . . . = z r = sia critico per la u definita dalla equazione (19). 



(*) Nota citata del 20 febbraio 1910. 



