— 135 — 



IV. 



31. Considereremo, sempre in astratto, un secondo tipo di operazioni lineari non 

 degeneri. Esse saranno quelle per le quali « la risolvente R, in quanto dipende dal pa- 

 « rametro k, è funzione meromorfa di questo parametro, a poli fìssi, e in quanto è 

 « operazione sugli elementi a di S, è tale che lo svilux>po in serie di potenze di h — k Q 

 « che la rappresenta nell" intorno di un valore k di k che non sia un polo, converge 

 « uniformemente nell' intorno di ogni elemento a di S. » Come è avvertito al § 5, 

 è sottintesa la convergenza uniforme rispetto ad x in tutto 1' intervallo /. 



Le operazioni che ammettono una tale risolvente verranno dette operazioni del tipo 

 di Fredholm , o, per brevità, operazioni di tipo F. 



32. Cominceremo dall'esame di un caso particolare molto semplice, ma altrettanto 

 istruttivo. 1/ operazione A, data in S e priva di radici, ammetta come risolvente una 

 operazione R la quale, come funzione del parametro k, sia uniforme con un solo polo 

 fisso (indipendente da a e da x) di prim' ordine k = k l , oltre al punto singolare essen- 

 ziale per k = oo. La R può pertanto scriversi : 



(1) R(a) = -^^--hG{a;k) 



«j — k 



dove G(a; k), in quanto dipende dal parametro, è funzione intera, definita da uno svi- 

 luppo in serie 



(2) G(a;k) = j±G n (a)k n 



tt = 



convergente in tutto il piano k ; in quanto sono operazioni applicabili agli elementi 

 di S, la B, la G e le G„ sono distributive, e la serie (2) viene infine supposta uni- 

 formemente convergente in un intorno di ogni elemento a di jS 



Queste ipotesi permettono di dedurre proprietà notevoli per l' operazione A. 



a) Sappiamo dal § 19 che per | h | < | /^ |, la R(a) è rappresentata dallo svi- 

 luppo in serie 



(3) R(a) = , £ i k ì '- l A"(a); 

 dal confronto con (1), ne segue 



(4) A (a) = ^-^-G a (a), 

 e in generale 



(4') ^(«) = f ) + G>.-.(«) ; (n=l,2,S, ). 



