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e) Vediamo ora sotto quali condizioni l' operazione A possa essere di tipo V per 

 un elemento a. Se è tale, A n (o) è successione ologene e quindi la (3) è funzione intera 

 in k. Dal confronto con (1), e dal citato principio d' identità, segue dunque : 



(8) B(a) - 0, R(a) = G(a; k). 



ci) Indichiamo con H 1" insieme degli elementi invarianti di A ; con S x l' insieme 

 degli elementi pei quali A è del tipo V. Evidentemente, tanto H quanto S x sono spazi 

 lineari. Dalla conclusione di a), e dalle (7) ed (8), risulta : « che essendo a un ele- 

 « mento qualsiasi di jS, l'elemento B(a) appartiene ad ff, l'elemento G Q (a) appar- 

 « tiene ad S ; che H è spazio di radici (*) per l'operazione G f) , e S x è spazio di 

 « radici per l' operazione B. » 



e) « Gli spazi H ed iS 1 non hanno elementi comuni. » Infatti, se a appartiene 

 ad H, è 



A " {a) = ^ ; 



se a appartiene ad $, la successione A n (a) è ologene, e queste due illazioni si con- 

 traddicono. 



f) Tanto lo spazio H quanto lo spazio S rimangono invariati dall'applicazione 

 dell' operazione A ; infatti è chiaro che se a appartiene ad Jf, vi appartiene anche 

 A(a), e che se a appartiene ad $ vi appartiene anche A(a). 



g) « Ogni elemento a di S può, ed in un solo modo, decomporsi nella forma 



(9) a = ri -\- a, 



« dove iq è elemento di H e a elemento di jS ] . » 



Si ha infatti, da a), che B(a) è un elemento di ff; sia indicato con iq. Dalla (4) 

 si ha : 



1 



A', 



A(a — r?) = A(a)—^= G fì (a) ; 



i 

 onde 



i r> — 1 



A" (a — r?) = A n ^ l G n {a). 



Il secondo membro è, per a), una successione ologene e quindi a — r; è elemento 

 di tS ì ; lo si ponga uguale a a, e la (9) è così dimostrata. La decomposizione è poi 

 possibile in un solo modo, poiché in caso contrario si avrebbero elementi comuni ad H 

 ed S : , contro quanto si è veduto ad e). 



Mediante la decomposizione di S nella forma 



ò := H -+- S x , 



quale risulta da quanto si è ora esposto, si può dire di avere ottenuta la struttura 

 dello spazio S rispetto all' operazione A. 



(') Pincherle e Arnaldi: Le operazioni distributive, p. 31, Bologna, Zanichelli, 1901. 



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