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34. Veniamo alla risoluzione di alcune equazioni funzionali relative all'operazione A. 

 a) Per l' equazione lineare di prima specie 



(10) A(0) = a, 



dove a è funzione data in $ e (p funzione incognita, o in altri termini, per la deter- 

 minazione dell'operazione A~ x inversa di A, la risoluzione è subordinata a quella della 

 stessa equazione nello spazio jS x , cioè all'inversione di una operazione del tipo V. 

 Se infatti si pone 



a = vi -+- a, 

 viene 



che dimostra l'asserto. Non si può aggiungere di più, non potendosi dire nulla di ge- 

 nerale sull' inversione delle operazioni di tipo V. 

 Per l' equazione di seconda specie 



(11) <p — kA{<p) = a, 



o equazione di Fre'dholm, dove a e data in & 1 e <p è incognita, la soluzione, come 

 risulta dal § 19, è data da 



kB(a) 

 <p~a-\- kR(a) = a h 1- kG(a ; k) 



per ogni valore di k, eccettuato h = k x . Per il caso k = k , la soluzione <fi, se esiste 

 o potrà decomporsi (§ 33, g) in 



<P -= V "+- ^5 



^ elemento di Jf, a elemento di jS x ; ora sostituendo, viene 



iq h- a — k x A(r] -+- a) = a — k x A(a) = a ; 



l' elemento dato a deve dunque appartenere ad S ì . E questa condizione necessaria è 

 anche sufficiente per la possibilità dell'equazione; infatti, se a appartiene ad S x , una 

 soluzione è data da 



(p = a -+- k x G(a; kj, 



e da questa soluzione particolare si deduce la soluzione generale + ^, dove q è un ele- 

 mento arbitrario di H. 



35. Le combinazioni per somma e moltiplicazione di operazioni permutabili della 

 specie definita al § 32 sono soggette alle leggi del calcolo ordinario, e si possono ri- 

 solvere formalmente quei problemi la cui soluzione sia riconducibile alla costruzione di 

 una serie di potenze. Il procedimento da seguire è quello stesso indicato dal Volterra, 

 nelle note citate, per le operazioni integrali e che abbiamo richiamato per le operazioni 

 astratte di tipo V al § 29 di questo lavoro. Ma per la validità degli sviluppi ottenuti, 



