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è da notare una differenza essenziale col caso allora considerato ; in quel caso infatti, 

 se, partendo da una serie di potenze (per semplicità, di una sola variabile) 



/ i c n z n 

 avente un raggio non nullo r di convergenza, se ne deduceva la 



(12) %c n A«, 



questa godeva della convergenza, uniforme in / ed in un intorno di ogni elemento a 

 di /S, senza restrizioni ; nel caso attuale invece, lo sviluppo (12) può venire usato con 

 sicurezza solo quando sia r >■ | k^ | . A questa osservazione è subordinata la validità 

 dei risultati ottenuti mediante l' accennato calcolo funzionale. 



3G. Lasciando al lettore la facile estensione dei risultati precedenti al caso delle 

 operazioni A la cui risolvente sia della forma 



R(a) = F(a; k) -+- G{a; k). 



dove F è, rispetto a k, una funzione razionale a poli fìssi e G una funzione intera in h, 

 passiamo ad abbozzare lo studio delle operazioni generali di tipo F, defluite al § 31, 

 in cui la R è funzione meromorfa del parametro k. Supporremo, per semplicità, che 

 i poli della detta funzione meromorfa siano del primo ordine ; la complicazione maggiore 

 che porterebbe il caso di poli di ordine qualunque dà luogo a difficoltà di forma che 

 si superano con procedimenti ben noti, e che non toccano all'essenza della questione, 

 specie dal punto di vista al quale ci siamo posti. 



La risolvente meromorfa R di A si ponga sotto alla forma nota che le si può dare 

 in base al classico teorema di Mittag Leffler. Essendo i poli della detta funzione 

 i punti fc , k 2 . . . k r . . . , ordinati in modo che sia. (k^ differente da zero): 



si avrà : 

 (13) 



k v I ^ ! &y-:-i I ? con lini k v = co, 



" , x / 1 1 k ft W v-l\ 



*=S «.(«) fc=i- ìt-k- ••.■■ncr) + ff(a; * ) 



gì' interi (non decrescenti) m v sono scelti in modo che la serie del secondo membro con- 

 verga uniformemente rispetto a k entro un* area grande a piacere ma Anita, da cui i punti 

 interni k v siano esclusi con cerchi aventi i centri in questi punti e raggi piccoli a piacere. La 



G(a, h) =■ ^ G n (a)k n e funzione intera di k. Si ammette, come è stabilito, la convergenza 



n = o 



dello sviluppo in quell'area come uniforme rispetto ad x in tutto ./ e uniforme in un 

 intorno di ogni elemento a di S. Evidentemente, le B r e le G„ sono operazioni distribu- 

 tive in *S. 



