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37. a) Per | k | < [ k l |, lo sviluppo (13) si può ordinare per le potenze crescenti 



di k. 



" , /BJa) BJa) BJa) , A 



(14) fl = 2 A«- (-£i H- -^h- . . . . -+- -«li -f- <?,, _,(a) ), 



dove q = q(n) è un intero variabile con n e tale che sia 



m q <C w — 1 , m q + j >> n — 1 . 



D'altra parte, se la R ammette uno sviluppo convergente in serie di potenze di k, 

 esso non può differire da 



(3) R(a) — y £ i k n - l A n {a) 



n=\ 



come sappiamo dal § 19. Abbiamo dunque 



/Vi rvc> **^n 



b) La R essendo definita da 



R — kAR = A, 



sostituendovi la (13), moltiplicando per k — k,- e passando al limite per k = k{, viene 



B i {a) = h i AB i (a), [i= 1, 2, 3,...) 



Onde « l'operazione B,-, applicata agli elementi di S, genera elementi invarianti di A 

 « rispetto a hi . » 



e) Sia y un elemento invariante di A rispetto ad un numero h. Si avrà : 



n 



(16) ? = AA(jp), y = h n A n (y), R{t?) 



h — h 



Dal confronto con (13), segue che h non può differire da uno dei numeri Ji v ; sia 

 h = h s ; ne viene : 



(1 1 k k m — 1\ 



Onde, dal confronto colle (16), viene 



( 1 7) B s {y) = i? ; BJt?) = per v =|= s , 



e 



0'8) Q { V ) = 2-, G ì (r / )=*t,...G ms _ 1 (t ? )=^, G n (t?) = per n > m, . 



Talché « l'operazione A non ha invarianti all' infuori di quelli riconosciuti a b); per 

 « gl'invarianti t? s relativi al polo k s , l'operazione B s e l' operazione identica ; gliele- 



