— 141 — 



« menti y s sono radici per le operazioni G v di indice non inferiore ad m s e per le 

 « operazioni B r dove v è diverso da s. » 



d) Indichiamo con lì V insieme degli elementi invarianti di A. Lo spazio H si 

 divide negli spazi J£ ] , U 2 ,... degli invarianti relativi ai singoli numeri k , k , ..; 

 due spazi Hi, Hj non hanno elementi comuni se è i -\~ j, come risulta subito dalle (17). 



Ogni spazio U ri -t- H rn -f- . . H r e mutato in se dalla operazione A. 



e) « Se p e radice delle operazioni B t , B , . . . B p , e 



(19) A»^)-*^. » (*) 



Infatti, se p è radice delle B r , (v = 1, 2,. ..p), si ha dalla (13): 



ed il secondo membro converge per | k | <C | k p + ì | ; ma si ha [iure 



R(p) = 2 i k«-A»(p), 

 e ciò dimostra la (19). 



38. a) In base alle osservazioni del § precedente, si scorge facilmente che « ogni 

 « elemento a di jS può porsi nella forma 



(20) a = iq x -+- y t ■+■ . . . . % -H p, 



« dove j^j , q , .. r/ p sono elementi di ff x , JHT 2 , . ■ . H p rispettivamente, epe radice 

 « di B v B 2 ,.. B p . » 



Si formi infatti Bi(a) ; il risultato sarà un elemento ^ di Hi (§ 37, b). Consi- 

 derando allora 



p = a — ft — Vz — ---Vi» 



verrà, per le (17), 



B i (p) = B i (a) — Bity { ) = 0. 



Inoltre la decomposizione di a nella forma (20) è possibile in un sol modo ; in 

 altre parole, una somma 



^ -+■ 7, -+- • • • *?p -+" P 



non può essere nulla se non ne sono nulli tutti i termini, come si vede applicandole 

 una qualunque delle operazioni Bi{i= 1, 2,...p). 



b) Se /? è radice di Bi, e tale anche A(@) ; infatti, è 



(") La scrittura 



a» ~ e" 



1 I 

 è stata usata da vari autori per indicare che la serie di potenza ^rt n 3 n converge entro il cerchio 



e 



