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dove ^ indica che la sommatoria va estesa ai valori di v da 1 a co, eccettuato il 

 valore v = i. Ma B è permutabile con A, come risulta dalla (3); onde 



e questa mostra che i?A(/S) non contiene il polo k = h i: cioè che è 5 t -(A(0))=O. 

 e) Pertanto, segue da (20), per qualunque m : 



(21) A m (a) = -^L- -f- -^r- -+- . . h- ^ h_ 4™('/5Ì 



dove A m (p) è radice di .£,, #„, .. ^,. 



39. La risoluzione dell'equazione di Fredholm (11) si ha immediatamente in base 

 alla (3) del § 19, se k ha valore diverso da k v k 2 , k v , ... È però anche facile vedere 

 sotto quale condizione sia possibile l'equazione 



(11') <p — 1nA{<p) = a, (i=l, 2, ...). 



In base ai §§ precedenti, si può scrivere, se esiste <p in S : 



dove @ è radice di B { ed iq { è un elemento di Hi. Ne viene 



/? — k i A(P) = a, 



e quindi (§ 38, b), anche a deve essere radice di B[. Questa condizione necessaria di 

 risoluzione di (11') è anche sufficiente, perchè qualora sia soddisfatta, l'elemento 



(22) (p = a -+- hiR{a) 



soddisfa senz'altro alla (11'). La soluzione generale di (11') è data da (p -+- q i} essendo 

 (p la funzione data da (22) e tqi un elemento arbitrario di Hi- 



4-0. Riassumendo i risultati ottenuti in ciò che precede circa alla struttura dello 

 spazio /S in relazione ad una operazione di tipo F, possiamo dire che 



« ad ogni polo k { (numero invariante di A) corrisponde uno spazio invariante Mi, 



« in cui T operazione A si riduce alla moltiplicazione per —, ed una operazione Bi 



« che nello spazio Mi è l' identità, mentre negli spazi M s (s =| = i) è 1' operazione nulla. 

 « Ogni elemento a di S è decomponibile ed in un sol modo, nella forma (20), o nella 

 « forma più generale 



(23) a = t?i-i- rij -+- . . . <q a -+- p 



