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« Se la A ammette una risolvente meromorfa della forma (26), essendo a un ele- 

 « mento qualsivoglia di S e posto B v {a) = r? v , si ha per A" {a) lo sviluppo 



(29) 4 W (<*) = E £-+-?«> (n> 



« dove /o M è elemento di uno spazio per il quale A è operazione di tipo V ; e lo svi- 

 luppo (29) è uniformemente convergente rispetto ad x. » 



43. Si può riguardare lo spazio S come ripartito in una somma degli spazi 

 H , H 9 , • ■ ■ Hv, •■■ e di uno spazio S x per modo che preso un. elemento a in jS e posto 

 B v (a) — v? v , ed essendo jp„ elemento di H v e /? di aS^, è: 



(30) a = ^ ■+■ ri % ■+■ . . -+- y v -+- . . . -+- p ; 



qui, l'uguaglianza (=) ha semplicemente un carattere virtuale, ma essa dà luogo ad 

 una uguaglianza effettiva in seguito all'applicazione dell'operazione A n {n>m), e pre- 

 cisamente dà lo sviluppo (29). 



44. Nei casi concreti che si sono presentati nello studio delle equazioni integrali 

 e in cui si possono applicare le considerazioni astratte precedenti, accade di norma 

 che gli spazi H v siano ad una dimensione : ad ognuno dei numeri k v corrisponde un 

 solo elemento q v di S (all' infuori d'un moltiplicatore numerico), talché ad un elemento 

 a di $ corrisponde una costante c v , tale che 



B v (a) = G v y v . 



I numeri c v si possono allora dire, in senso esteso, coefficienti di Four ier-H i lbert 

 di a rispetto all' operazione A. Si avrà lo sviluppo virtuale : 



(30') a = Xc4« + Po 



e, per n >• m, lo sviluppo effettivo 



(31) A n (a) = 2 v -^7? v -*-p n . 



Come al § 33, si prova immediatamente che /S\ non può avere elementi comuni 

 cogli H v e che le H v sono spazi di radici per G m ; ne segue che lo sviluppo di A' n {a) 

 nella forma (31) è possibile in un solo modo. 



45. Neil' ipotesi del § precedente, qualsiasi operazione funzionale rappresentata da 

 una funzione f{A) razionale intera o fratta del simbolo A, purché contenga a fattore 

 A r (r > m) in numeratore e non contenga A a fattore in denominatore, si può eseguire 

 sostituendo, nella (31), al coefficiente c v : A", il coefficiente 



