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L' operazione B è distributiva. Infatti, è 



R(a -+-&)= R{a)-+- /?(/?). 



r b B(a + @; n)du r b B(a-,u)du r b B(3;u 



Ne viene, dallo sviluppo in serie di potenze di questa espressione, sviluppo convergente 

 per \ k\ < a, che è 



/ 



(fi (a -+- /? ; m) — fi(a ; u) du — B((3 ; «)) rfz« 



per ogni w. intero positivo. Per un noto teorema di Lerch (*), e poiché le B(a), B(3) 

 sono funzioni continue di u, ne risulta 



B(a -t- ; u) — B(a ; w) -+- B((3 ; m) . 



47. Sviluppando la (2) in serie di potenze di k, si ha per | k | <Z « : 



J^ n r b B(a ; w)dw 



(4) £{«) = £ H 



M «+i ' 



dove i coefficienti di /e" sono, per ogni elemento a di S, elementi di 8. Sostituendo 



nella (1), se ne deduce: 



r b B(a; u)du 

 (5) A(a)= ' 



Ja « 



ed in conseguenza : 



J ,b B(a: u)du 



per ogni w intero positivo. 

 Si ha pure per I k I > & : 



1 f ò 

 i?( a ) — _ 2 •— pj- j B(a;u)u n du, 



dove anche qui i coefficienti delle potenze di k sono elementi di S ; sostituendo in (1), 

 viene : 



(6) A fi(a; u)du — A (a) 

 ed 



(7) a[ B(a;u)u n +'du= l B{a;u)u n du 



J a J a 



(*) Acta Math. T. 27. 



